Giả sử p ; p+4 ; p+8 là ba số nguyên tố.

Ta thấy p \(\ne\) 2, vì nếu p = 2 thì p + 4 = 6 và p+  8 = 10 là hợp số.

Xét p = 3 thì 3; 17; 11 là bộ ba số nguyên tố mà hiệu của ba số liên tiếp bằng 4.

Xét p > 3 thì p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k \(\in\) N)   [kiến thức về số nguyên tố lớn hơn 3]

Loại p = 3k + 1 vì khi đó p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 8 = 3k + 3.3 = 3.(k+3) chia hết cho 3, là hợp số.

Loại p = 3k + 2 vì khi đó p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3k + 3.2 = 3.(k + 2) chia hết cho 3, là hợp số.

Vậy chỉ có duy nhất bộ ba số nguyên tố 3; 7; 11 thỏa mãn đề bài.

Suy ra điều phải chứng minh.

Bạn hỏi câu này, mọi người và O-l-M chọn câu trả lời của mình đi mà để mình còn có hứng giải tiếp !

tự tin nhỉ! chắc rằng mình giải đúng mà bảo olm chọn luôn

gia su p ; p + 4 ; p + 8 la ba so nguyen to

ta thay p khong bang 2 vi neu p = 2 thi p + 4 = 6 va p + 8 = 10

xep p = 3 thi 3 ; 17 ; 11 la bo ba nguyen to lien tiep co hieu bang 4

xet p > 3 thi p co dang 3k + 1 hoac 3k + 2 (k thuoc N) [ kien thuc ve nguyen to lon hon 3]

loai p = 3k + 1 vi khi do p + 8 = 3k + 1 +8 = 3k + 8 = 3k + 3 . 3 = 3 . (k + 3) chia het cho 3, la hop so

loai p = 3k + 2 vi khi do p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3k + 3 . 2 = 3 . (k + 2) chia het cho 3, la hop so

vay chi co duy nhat 3; 7; 11 thoa man de bai

suy ra day la dieu can chung minh

ta thay p 

toán lớp 1 mà cũng có toán chứng minh a

lớp 1 mà đã học về số nguyên tố à

Ta đã biết ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 3,5,7. Ta chứng minh bộ ba này là duy nhất.

Thật vậy, giả sử có ba số nguyên tố lẻ liên tiếp nhau là: a;a+2;a+4.

Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a không chia hết cho 3. Vậy a có dạng: a = 3k+1; 3k+2 (k ∈ N)

+ Nếu a = 3k+1 thì a+2 = 3k+3 > 3 và chia hết cho 3 => Hợp số.

+ Nếu a = 3k+2 thì a + 4 = 3k+6 > 3 và chia hết cho 3 => Hợp số.

=>Điều giả sử sai. Vậy có duy nhất bộ ba số tự  nhiên lẻ liên tiếp là số nguyên tố

Gọi 2k+1,2k+3,2k+52k+1,2k+3,2k+5 là 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp

+) Nếu kk chia hết cho 3 →2k+3→2k+3 chia hết cho 3

+) Nếu kk chia 3 dư 1 →2k+1→2k+1 chia hết cho 3

+) Nếu kk chia 3 dư 2 →2k+5→2k+5 chia hết cho 3 

→→ 3 tự nhiên lẻ tiên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3

→→ Nếu k=1→3,5,7k=1→3,5,7 là số nguyên tố 

      +)Nếu k>1→2k+1,2k+3,2k+5k>1→2k+1,2k+3,2k+5 là 3 số tự nhiên lớn hơn 3 do trong 3 số luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 suy ra số đó là hợp số →k>1→k>1 không có bộ 3 số nào thỏa mãn đề 

Gọi 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp là : p ; p+2 ; p+4

Với p=2 => p+2=4

Vì 4 là hợp số nên p là số nguyên tố khác 2

Với p=3 => p+2=5 => p+4=7

Vì 3, 5 và 7 là các số nguyên tố 

=> 3, 5 và 7 là bộ 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố

p lớn hơn hoặc bằng 3 => p bằng 3k+1 hoặc 3k+2  (k là số tự nhiên khác 0)

Với p=3k+1 => p+2=3k+3 chia hết cho 3 (là hợp số nên loại)

Với p=3k+2 => p+4=3k+6 chia hết cho 3 (là hợp số nên loại)

=> Chỉ có duy nhất bộ 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố

Vậy chỉ có duy nhất bộ 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.

Chúc bạn học tốt!

#Huyền#

là sao ?