Câu 1:

\(C=\left(1+\frac{1}{1.3}\right)\left(1+\frac{1}{2.4}\right)+\left(1+\frac{1}{3.5}\right)+...\left(1+\frac{1}{2014.2016}\right)\)

\(\Rightarrow C=\frac{4}{3}.\frac{9}{8}.\frac{16}{15}....\frac{2015.2015}{2014.2016}\)

\(\Rightarrow C=\frac{4.9.16...2015.2015}{3.8.15...2014.2016}\)

\(\Rightarrow C=\frac{2.2.3.3.4.4...2015.2015}{1.3.2.4...2014.2016}\)

\(\Rightarrow C=\frac{2.3.4...2015.2.3.4...2015}{1.2.3...2014.3.4.5...2016}\)

\(\Rightarrow C=\frac{2015}{1008}.\)

Vậy \(C=\frac{2015}{1008}.\)

Câu 2:

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng \(3k+1\)hoặc\(3k+2\)

+ Nếu \(p=3k+1\Rightarrow p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1\)

                                                      \(=9k^2+3k+3k+1-1\)

                                                      \(=9k^2+6k⋮3.\)( 1 )

+ Nếu \(p=3k+2\Rightarrow p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1\)

                                                      \(=9k^2+6k+6k+4-1\)

                                                        \(=9k^2+12k+3⋮3\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow p^2-1⋮3\left(đpcm\right).\)

Câu 3:

\(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}>1000^{10}=10^{30}.\)( 1 )

\(2^{100}=2^{31}.2^6.2^{63}=2^{31}.64.512^7< 2^{31}.125.625^7=2^{31}.5^{31}=\)\(10^{31}.\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow10^{30}< 2^{100}< 10^{31}.\)

\(\Rightarrow\)2¹⁰⁰  khi viết trong hệ thập phân có 31 chữ số.

                                           Đáp số: 31 chữ số.

Câu 1 : 

C = (1 + 1/1.3)(1 + 1/2.4)(1 + 1/3.5) .... (1 + 1/2014.2016) 

C = (1.3/1.3 + 1/1.3) (2.4/2.4 + 1/2.4) ... (2014.2016/2014.2016 + 1/2014.2016) 

C =  2.2/1.3 * 3.3/2.4 * ... * 2015.2015/2014.2016 

C = 2.3....2015/1.2....2014 * 2.3....2015/3.4....2016 

C = 2015 * 1/1008

C = 2015/1008

Câu 8:

Các số chẵn có 2 chữ số chia hết cho 5 là:

10; 20; 30;.......;90(9 số)

Tổng 9 số trên là:

(90+10)x9:2=450

Trung bình cộng các số trên là:

450:9=50

                ĐS:50

Câu 9:

Gọi số đó là A. Theo đề bài, ta có:

A97 - A=1978

100A+97-A=1978

100A-A=1978-97

99A=1881

A=1881:99

A=19

KL: Số phải tìm là 19

Câu 10:

Lập được tất cả các số sau:

10,32       10,23          12,03         13,02

20,13       20,31           21,03         23,01

30,12       30,21           31,02         32,01

Vậy lập được tất cả 12 số thập phân có đủ cả 4 mạt chữ số.

Ta có: p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p không chia hết cho 3

TH1: p=3m+1              (m thuộc N)

=>p²=(3m+1)²=3m(3m+1)+(3m+1)=9m²+3m+3m+1=3(3m²+2m)+1

=>p² chia 3 dư 1

TH2: p=3n+2          (n thuộc N)

=>p²=(3n+2)²=3n(3n+2)+2(3n+2)=9n²+6n+6n+4=3(3n²+4n+1)+1

=>p² chia 3 dư 1

Vậy p² luôn chia 3 dư 1 (với p là SNT >3)

=>p²-1 chia hết cho 3(đpcm)

Thank you very much 

Xét số nguyên tố p khi chia cho 3

Ta có: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( điều kiện k thuộc N* )

- \(p=3k+1\Rightarrow p^2-1=\left(3k+1\right)^2-1=9k^2+6k⋮3\)( 1 )

- \(p=3k+2\Rightarrow p^2-1=\left(3k+2\right)^2-1=9k^2+6k⋮3\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(p^2-1⋮3\left(đpcm\right)\)

giúp minh với

đpcm ?????????

mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó