Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong của các góc đối diện với các cạnh đó . CMR :
\(\dfrac{1}{x}\) + \(\dfrac{1}{y}\) + \(\dfrac{1}{z}\) > \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) + \(\dfrac{1}{c}\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh và x, y, z là độ dài 3 đường phân giác trong tam giác của các góc đối diện với cạnh đó. Chứng minh: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Xét tam giác ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Phân giác của các góc A, B, C lần lượt là AD = x, BE = y, CF = z.
Kẻ DM // AB \((M\in AC)\).
Ta có \(\widehat{ADM}=\widehat{BAD}=\widehat{MAD}\Rightarrow\) Tam giác AMD cân tại M.
Do đó AM = MD.
Áp dụng định lý Thales với DM // AB ta có:
\(\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{CM}{AC}=1-\dfrac{AM}{AC}=1-\dfrac{DM}{AC}\Rightarrow\dfrac{MD}{AB}+\dfrac{MD}{AC}=1\Rightarrow\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\).
Mặt khác theo bất đẳng thức tam giác ta có \(x=AD< AM+MD=2MD\Rightarrow MD>\dfrac{x}{2}\Rightarrow\dfrac{1}{MD}< \dfrac{2}{x}\Rightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}< \dfrac{2}{x}\).
Tương tự \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}< \dfrac{2}{y};\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}< \dfrac{2}{z}\).
Cộng vế với vế của các bđt trên rồi rút gọn ta có đpcm.
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong của các góc đối diện với các cạnh đó.
CMR: 1/x + 1/y + 1/z > 1/a + 1/b + 1/c
Từ B kẻ đường thẳng song song với đường phân giác AD, cắt CA ở E. Tam giác ABE cân ở A nên AE = AB = c
\(\Rightarrow\)CE = CA + AE = b + c
Do đó AD // BE nên ta có :
\(\frac{AD}{BE}=\frac{CA}{CE}\)hay \(\frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}\), do đó \(x=\frac{b}{b+c}.BE\)
Mà BE < AB + AC < 2c
\(\Rightarrow\) \(x< \frac{2bc}{b+c}\)hay \(\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( 1 )
Tương tự ta có : \(\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)( 2 )
ta cũng có : \(\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)( 3 )
Cộng từng vế của ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vậy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(ĐPCM\right)\)
Hình mình vẽ hơi xấu tí thông cảm
Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác, x,y,z là độ dài các phân giác trong của các góc đối diện với các cạnh đó. cmr: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Cho a,b,c là độ dài các cạnh tam giác ABC. x,y,z tương ứng là độ dài các đường phân giác của góc đối diện cạnh đó. CMR
a) \(x< \frac{2cb}{b+c}\)
b) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
a) Gọi AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\left(D\in BC\right)\)
Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC tại M
Ta có: \(\widehat{ABM}=\widehat{BAD};\widehat{AMB}=\widehat{DAC}\)
Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)(vì AD là phân giác \(\widehat{BAC}\))
=> \(\widehat{AMB}=\widehat{ABM}\) nên \(\Delta\)ABM cân tại A)
Từ đó có AM=AB=c. \(\Delta\)ABM có: MB<AM+AB=2c
\(\Delta\)ADC có: MB//AD, nên \(\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{MC}\) (hệ quả định lý Ta-let)
do đó \(AD=\frac{AC}{MC}\cdot MB< \frac{AC}{AC+AM}\cdot2bc=\frac{2bc}{b+c}\)
b) Cmtt câu a) ta có: \(\hept{\begin{cases}y< \frac{2ca}{c+a}\\z< \frac{2ab}{a+b}\end{cases}}\)
Do đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\)
cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong của tam giác đó.CMR:1/a+1/b+1/c<1/x+1/y+1/z
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác và x,y,z là độ dài tương ứng của các đường phân giác của góc đối diện với cạnh đó. Chúng minh rằng:
a) x <\(\frac{2bc}{b+c}\)
b) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác và x,y,z lấn lượt là độ dài các đường phân giác của tam giác đó:
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
hình bạn tự vẽ
Tam giác ABC tương ứng với a,b,c độ dài các cạnh
từ B dựng đường thẳng song song với tia phân giác AD cắt đường thẳng CA tại E,ta có AE = AB = c
Do AD//BE nên \(\frac{x}{BE}=\frac{b}{b+c}\Rightarrow x=\frac{b}{b+c}.BE\)
Trong tam giác ABE ta có : EB < AB + AE = 2c
vì thế \(x< \frac{2bc}{b+c}\Rightarrow\frac{1}{x}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Tương tự : \(\frac{1}{y}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\); \(\frac{1}{z}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Cộng lại ta được đpcm
cho a;b;c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC và x;y;z là độ dài các đường phân giác trong của các góc với các cạnh đó
c/m: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
a) Cho x, y, z là 3 số dương. CMR có tam giác mà các cạnh của nó có độ dài là a, b, c với: a=x+y; b=y+z; c=z+x.
b) Cho a, b, c là các độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR có các số dương x, y, z sao cho: a=x+y; b=y+z; c=z+x.
a) Vì x,y,z>0 nên a,b,c>0 (1)
Ta có: a+b-c=x+y+y+z-z-x=2y>0
=> a+b>c. Tương tự ta có b+c>a, c+a>b (2)
Từ (1) và (2) => Tồn tại tam giác mà các cạnh của nó có độ dài 3 cạnh là a,b,c
b) Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta có a+b>c hay x+y+y+z>z+x => y>0
Tương tự: z,x>0
Vậy có các số dương x,y,z tm
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và x,y,z là độ dài 3 đường phân giác của tam giác đó. CMR \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)