Giúp mình với mình đang cần gấp !
Cho x,y là các số thực thỏa mãn :\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)
CMR : x2+y2=1
Giúp mình với mình đang cần gấp !
Cho x,y là các số thực thỏa mãn : \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)
CMR : x2+y2=1
Cho x,y là các số thực thỏa mản :
\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1\)
CMR : x2+y2 =1
Câu 1 cho x,y>0 thỏa mãn xy=6 tìm min Q=2/x+3/y+6/3x+2y
Câu 2 cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y<=1 tìm min P=(1/x+1/y)nhân với căn (1+x^2y^2)
Bạn nào giúp mình nhanh với mình đang cần gấp T.T
cho các số thực dương thỏa mãn x^2+y^2=1/2 CMR x/(y+1)+y/(x+1)=<2/3
Giúp mik với mình đang vội
7a có: \(\frac{1}{2}=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)\(\Leftrightarrow x+y\le1\)
Áp dụng BD7 Cauchy-SChwarz 7a có:
\(V7=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=x-\frac{xy}{y+1}+y-\frac{xy}{x+1}\)
\(\le x+y-\frac{\left(x^2+y^2\right)}{2}\left(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{x+1}\right)\)
\(\le1-\frac{\frac{1}{2}}{2}\cdot\frac{4}{1+2}=\frac{2}{3}=VP\)
Dấu "='' khi \(x=y=\frac{1}{4}\)
a, Giả sử (x;y) là các số thực thỏa mãn : \(\left(x+\sqrt{3+x^2}\right)\left(y+\sqrt{3+y^2}\right)=9\) .Tìm GTNN của \(P=x^2+xy+y^2\)
b, Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: \(P=\sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1-x^2}\)
Mình đang rất cần nên các bạn giúp mình với nha!
Theo đề bài, ta có:
x3+y3=x2−xy+y2x3+y3=x2−xy+y2
hay (x2−xy+y2)(x+y−1)=0(x2−xy+y2)(x+y−1)=0
⇒\orbr{x2−xy+y2=0x+y=1⇒\orbr{x2−xy+y2=0x+y=1
+ Với x2−xy+y2=0⇒x=y=0⇒P=52x2−xy+y2=0⇒x=y=0⇒P=52
+ với x+y=1⇒0≤x,y≤1⇒P≤1+√12+√0+2+√11+√0=4x+y=1⇒0≤x,y≤1⇒P≤1+12+0+2+11+0=4
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và P≥1+√02+√1+2+√01+√1=43P≥1+02+1+2+01+1=43
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1
Vậy max P=4 và min P =4/3
Các bạn giúp mình bài này với !!! Cảm ơn rất nhiều!!!
Cho x,y là số thực thỏa mãn điều kiện: \(x.\sqrt{1-y^2}+y.\sqrt{1-x^2}=1\)Chứng minh rằng \(x^2+y^2=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(1=\left(x.\sqrt{1-y^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1-y^2+1-x^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(2-x^2-y^2\right)\ge1\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1\le0\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn x2 + y2 = 8. Tìm GTNN của biểu thức:
M = \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\)
M.n giúp mình với, cần gấp mai thi rồi.
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Ta có : \(M=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}\)
Mặt khác, theo bđt Bunhiacopxki : \(\left(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{1+y^2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(2+x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\le\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
Do đó : \(M\ge\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=8\\\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+y^2}\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)(vì x,y >0)
Vậy \(MinM=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow x=y=2\)
\(M\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}\ge\frac{4}{\frac{1+x^2+5+1+y^2+5}{2\sqrt{5}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
dấu = xảy ra khi x=y và x^2+y^2=8=> x=y=2
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z=2020xyz\) . Cmr \(\dfrac{x^2+1+\sqrt{2020x^2+1}}{x}+\dfrac{y^2+1+\sqrt{2020y^2+1}}{y}+\dfrac{z^2+1+\sqrt{2020z^2+1}}{z}\le2020.2021xyz\)
\(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow ab+bc+ca=2020\)
BĐT trở thành:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020^2}{abc}\)
Ta có: \(\sqrt{2020+a^2}=\sqrt{ab+bc+ca+a^2}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(2a+b+c\right)\)
Tương tự:...
\(\Rightarrow\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le3\left(a+b+c\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(3\left(a+b+c\right)\le\dfrac{2020^2}{abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (hiển nhiên đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
Cho x y z là các số thực duong thỏa mãn: \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1\)1
chứng minh rằng: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}< =\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\)
Mong mấy bạn giúp mình câu này. Mình cảm ơn.