Để phân số \(\frac{n+3}{n-2}\)có giá trị nguyên

=> n + 3 \(⋮\)n -  2

=> n - 2 + 5  \(⋮\)n -  2

=> ( n - 2 ) + 5  \(⋮\)n -  2

=> 5  \(⋮\)n -  2

=> n - 2 \(\in\)Ư ( 5 ) = { 1 ; 5 }

Với n - 2 = 1 => n = 3

Với n - 2 = 5 => n = 7

Vậy : n \(\in\){ 3 ; 7 }

a, Để\(\frac{2n+3}{4n+1}\)có giá trị là số tự nhiên  thì 2n+3 \(⋮\) 4n+1 

Ta có   2n+3 \(⋮\)4n+1

 =>      4n+6 \(⋮\)4n+1

=> (4n+1)+5 \(⋮\)4n+1

=>            5 \(⋮\)4n+1 => 4n+1 \(\in\)Ư(5) => 4n+1 \(\in\){ -1;-5;1;5 }

Ta có bảng :

Mà n \(\in\)N

+ Nếu n = 0 ta có \(\frac{2.0+3}{4.0+1}\)=\(3\)(chọn)

+ Nếu n = 1 ta có \(\frac{2.1+3}{4.1+1}=5\) (chọn )

Vậy n=0 hoặc n=1 thì phân số \(\frac{2n+3}{4n+1}\)có giá trị là số tự nhiên 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b, Gọi d \(\in\)UC(2n+3;4n+1)

Ta có  2n+3 \(⋮\)d => 2.(2n+3)\(⋮\)d

          4n+1 \(⋮\)d

Suy ra 2(2n+3) - (4n+1) \(⋮\)d

              4n+6 - 4n+1   \(⋮\)d

                            5     \(⋮\)d => d \(\in\)Ư(5) => d\(\in\){ -1 ; -5; 1 ; 5 }

+ Nếu 2n+3 \(⋮\)5 => 6n +9 \(⋮\)5

                            (5n+5).(n+4) \(⋮\)5

                                       n+4 \(⋮\)5 => n = 5k - 4 (k \(\in\)N*)

Thì 4n+1 = 4(5k - 4) +1= 20k - 16 +1 = 20k -15 \(⋮\)5

Vậy n \(\ne\) 5k - 4 (k \(\in\)N*) thì phân số \(\frac{2n+3}{4n+1}\)tối giản 

1, A=\(\frac{2n+3}{\text{4n + 1}}\)

A=\(\frac{4n+6}{\text{4n + 1}}\)

A=\(\frac{4n+1+5}{\text{4n + 1}}\)

A=1+\(\frac{5}{\text{4n + 1}}\)

Để A là số tự nhiên\(\Leftrightarrow\)1+\(\frac{5}{\text{4n + 1}}\) là số tự nhiên \(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{\text{4n + 1}}\) là số tự nhiên \(\Leftrightarrow\) 5\(⋮\)(4n+1)\(\Leftrightarrow\)(4n+1)\(\in\)Ư(5)={-5;-1;1;5}\(\Leftrightarrow\)4n\(\in\){-6;-2;0;4}\(\Leftrightarrow\)n\(\in\){\(\frac{-3}{2}\);\(\frac{-1}{2}\);0;1}. Mà n là số tự nhiên nên n\(\in\){0;1}.

Vậy n\(\in\){0;1} thì A là số tự nhiên

Đặt \(A=\frac{6n+99}{3n+4}=\frac{6n+8+91}{3n+4}=\frac{2\left(3n+4\right)91}{3n+4}+\frac{91}{3n+4}=2+\frac{91}{3n+4}\)

a) Để A là số tự nhiên thì \(91⋮3n+4⋮3n+4\)là ước của 91 hay 3n + 4 \(\in\left\{1;7;13;91\right\}\)

Ta có bảng :

Vậy ......

b) Để A là phân số tối giản thì \(91\text{không chia hết cho 3n + 4 hay 3n + 4 không là ước của 91}\)

=> 3n + 4 ko chia hết cho ước nguyên tố của 91

=> 3n + 4 ko chia hết cho 7 => \(n\ne7k+1\)

=> 3n + 4 ko chia hết cho 13 => \(n\ne13m+3\)

\(\frac{n^3+2n^2+1}{n^2-1}\)

Ta có:n³+2n²+1=(n²-1)(n+2)-(n-3)

=>n³+2n²+1 chia hết cho n²+1

<=>dư = 0 hay n-3=0<=>n=3