Ta đặt:  \(S_{BEMF}=S_1;S_{ABC}=S\)

Kẻ \(AK\perp BC\) ; \(AK\) cắt \(EM\left\{H\right\}\)

Ta có: \(S_1=EM.HK\)

\(\Leftrightarrow S=\dfrac{1}{2}BC.AK\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{S_1}{S}=2\dfrac{EM}{BC}.\dfrac{KH}{AK}\)

Đặt \(MA=x;MC=y\) . Theo định lý Thales ta có:

\(\dfrac{EM}{BC}=\dfrac{x}{x+y};\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{x}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{2xy}{\left(x+y\right)^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng \(\dfrac{ab}{\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{4}\) ta được:

\(\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{2xy}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{2}\) hay \(S_1\le\dfrac{1}{2}S\)

\(\Leftrightarrow MaxS_1=\dfrac{1}{2}S\)

\(\Leftrightarrow\) \(M\) là trung điểm của \(AC\)

1) ADME là h.b.h (vì có 2 cặp cạnh đối song song)
2) Vì ADME là hình chữ nhật nên O là trung điểm 2 đường chéo AM và DE.
Xét tam giác AHM vuông tại H, đường trung tuyến HO, khi đó HO = AO = OM
Vậy tam giác AHO cân ở O
3)
a, Tam giác ABC vuông tại A nên ˆDAE=900DAE^=900
Mà ADME là h.b.h nên tứ giác ADME là hình chữ nhật
b, Vì tứ giác AEMD là hình chữ nhật nên ED=AM
Để DE có độ dài nhỏ nhất thì AM có độ dài nhỏ nhất hay M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC

Cre : GG 

HT ;vvv

MÀY vào câu hỏi tương tự .

Tao không rảnh

Ok?

ấn vào câu hỏi sẽ xuất hiện là câu hỏi tương tự và ấn vào đó

Anh or chị tham khảo:
Câu hỏi của Hà Thu Hằng - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

a,  \(MD//AB,AB\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow MD\perp AC\Rightarrow\widehat{MDA}=90^0\)

\(ME//AC,AB\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow ME\perp AB\Rightarrow\widehat{MEA}=90^0\)

Tứ giác MDAE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

b, Hình chữ nhật có 1 đường chéo là đường phân giác thì là hình vuông 

Do đó: \(MDAE\) là hình vuông \(\Leftrightarrow\) AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\)

Vậy M là giao điểm giữa tia p/g của \(\widehat{DAE}\) và cạnh BC thì MDAE là hình vuông.

c, MDAE là hình chữ nhật (cmt) \(\Rightarrow DE=AM\) (tính chất của HCN)

AM ngắn nhất khi AM là đường cao.

Vậy DE ngắn nhất khi AM là đường cao của \(\Delta ABC.\)

Chúc bạn học tốt.

Cảm ơn :)))