Ta có:\(A=3x-2y^2-2z\)

\(B=2z-x^2-4y\)

\(C=4y-5z^2-3x\)

Vậy \(A+B+C=3x-2y^2-2z+2z-x^2-4y+4y-5z^2-3x\)

\(=-x^2-2y^2-5z^2\)

\(\text{Với x,y,z}\)\(\ne0\)\(\text{thì }\)\(-x^2-2y^2-5z^2< 0\)

\(\Rightarrow A+B+C< 0\)

\(\RightarrowĐPCM\)

Ta có :

A+B+C = ( 3x - 2y² -2y) + ( 2z - x² -4y ) + ( 4y - 5z² - 3x )

= -2y² - x² - 5z²   ( đoạn này mk làm tắt nhá )

= - 2y² + ( -x²) + ( -5z² )

= -( 2y² + x² + 5z² ) < 0

vì x, y , z \(\ne\)0 nên     \(\hept{\begin{cases}2y^2>0\\x^2>0\\5z^2>0\end{cases}}\)

=> 2y² + x² + 5z² >0

=> - ( 2y² + x² + 5z² ) <0

nên A+B+C <0

Tổng 3 đa thức trên <0 . Vậy trong 3 đa thức trên phải có ít nhất 1 đa thức có g.trị âm

Ta có:A=3x−2y^2−2z

B=2z−x^2−4y

C=4y−5z^2−3x

Vậy A+B+C=3x−2y^2−2z+2z−x^2−4y+4y−5z^2−3x

=−x^2−2y^2−5z^2

Với x,y,z≠0thì−x^2−2y^2−5z^2<0

⇒A+B+C<0

⇒ĐPCM

tham khảo ở đây:https://olm.vn/hoi-dap/question/936076.html

https://olm.vn/hoi-dap/question/936076.html

Giả sử 3 đa thức trên cùng nhận giá trị âm với mọi x, y.
Ta có:     \(A.B.C\)\(=\left(16x^4-8x^3y+7x^2y^2-9y^4\right)+\left(-15x^4+3x^3y-5x^2y^2-6y^4\right)+\left(5x^3y+3x^2y^2+17y^4+1\right)\)
\(=16x^4-8x^3y+7x^2y^2-9y^4-15x^4+3x^3y-5x^2y^2-6y^4+5x^3y+3x^2y^2+17y^4+1\)
\(=\left(16x^4-15x^4\right)-\left(8x^3y-3x^3y-5x^3y\right)+\left(7x^2y^2-5x^2y^2+3x^2y^2\right)-\left(9y^4+6y^4-17y^4\right)+1\)
\(=x^4-0+5x^2y^2-2y^4+1\)
\(=x^4+5x^2y^2-2y^4+1\)

Ta thấy:        \(x^4\ge0\) \(\forall x\)   \(;\)         \(x^2y^2\ge0\)\(\forall x,y\)       \(;\)         \(y^4\ge0\)\(\forall y\)
     \(\Rightarrow\)\(\left(x^4+5x^2y^2-2y^4+1\right)\ge1\)                  \(\forall x,y\)
     \(\Rightarrow\)\(A.B.C\)nhận giá trị dương
     \(\Rightarrow\)3 đa thức trên không thể cùng nhận giá trị âm với mọi x, y 
      \(\Rightarrow\)\(dpcm\)