CMR: \(4\left(a^3+b^3\right)\) ≥ \(\left(a+b\right)^3\) với a, b > 0
Những câu hỏi liên quan
CMR: \(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3\) với a, b, c > 0
Ta biến đổi: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3+4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3+4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\ge0\)
Xét: \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=\left(a+b\right)\left[4\left(a^2-ab+b^2\right)-\left(a+b\right)^2\right]\)
\(=3\left(x+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Tương tự với: \(4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\) và \(4\left(c^3+a^3\right)-\left(c+a\right)^3\)
Ta suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
8 tháng 2 2020 lúc 13:18
CMR: \(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3\) với a, b, c >0
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3
CMR: \(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Đặt BĐT cần c/m là A
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:
\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)
\(\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}.\frac{b+c}{8}.\frac{b+a}{8}}=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}.\frac{c+a}{8}.\frac{c+b}{8}}=\frac{3c}{4}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:
\(A+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
Cho a,b,c >0. CMR \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
(a+b+c)(a3+b3+c3)
=a4+a3b+a3c+ab3+b4+b3c+ac3+bc3+c4
=a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(bc3+b3c)+(c3a+ca3)
=a4+b4+c4+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
=(a4+b4+c4)+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
P/s đến đây bạn áp đụng bđt thức bunhi a là ra
Đúng 0
Bình luận (0)
(a+b+c) (a3+b3+c3)
=a4+a3b+a3c+ab3+b4+b3c+ac3+bc3+c4
=a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(bc3+b3c)+(c3a+ca3)
=a4+b4+c4+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
=(a4+b4+c4)+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c > 0 thõa mãn a+b+c=3
\(CMR:\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(VT\ge\sum\left(\dfrac{a^3}{2a+b+c}\right)=\sum\left(\dfrac{a^3}{\sum a+a}\right)=\sum\dfrac{a^3}{3+a}\)
Ta có BĐT phụ :
\(\dfrac{a^3}{a+3}\ge\dfrac{11a-7}{16}\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(16a+21\right)\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a>0)
Áp dụng BĐT (*) ta có :
\(\sum\dfrac{a^3}{3+a}\ge\dfrac{11\sum a-21}{16}=\dfrac{33-21}{16}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)
Đúng 0
Bình luận (2)
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. CMR: \(\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Bạn xem lời giải ở đây nhé https://olm.vn/hoi-dap/question/960694.html
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a+b+c=0 CMR
\(a^5.\left(b^2+c^2\right)+b^5.\left(c^2+a^2\right)+c^5.\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}.\left(a^3+b^3+c^3\right).\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
Cmr nếu a+b+c=0 thì:
a) \(10\left(a^7+b^7+c^7\right)=7\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^5+b^5+c^5\right)\)
b) \(a^5\left(b^2+c^2\right)+b^5\left(c^2+a^2\right)+c^5\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
CMR:\(4\left(a^3+b^3\right)\) \(\ge\left(a+b\right)^3\)Với a,b > 0
bpt <=> 4a^3+4b^3 >= a^3+b^3+3ab.(a+b)
<=> 4a^3+4b^3-a^3-b^3-3ab.(a+b) >= 0
<=> 3a^2+3b^2-3ab.(a+b) >= 0
<=> a^3+b^3-ab.(a+b) >= 0
<=> (a+b).(a^2-ab+b^2) - ab.(a+b) >= 0
<=> (a+b).(a^2-ab-b^2-ab) >= 0
<=> (a+b).(a-b)^2 >= 0 ( đúng với mọi a,b > 0 )
=> ĐPCM
Tk mk nha
Đúng 0
Bình luận (0)