\(2.\left(x+y\right)=5.\left(y+z\right)=3.\left(z+x\right)\)

\(\Rightarrow\text{ }\frac{2.\left(x+y\right)}{30}=\frac{5.\left(y+z\right)}{30}=\frac{3.\left(z+x\right)}{30}\)

\(\Rightarrow\text{ }\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}\)

\(\frac{x+y}{15}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(x+y\right)-\left(z+x\right)}{15-10}=\frac{y-z}{5}\text{ }\left(1\right)\)

\(\frac{z+x}{10}=\frac{y+z}{6}=\frac{\left(z+x\right)-\left(y+z\right)}{10-6}=\frac{x-y}{4}\text{ }\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\text{ }\frac{y-z}{5}=\frac{x-y}{4}\)

\(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{\frac{1}{2}}=\frac{y+z}{\frac{1}{5}}=\frac{z+x}{\frac{1}{3}}=\frac{x+y-z-x}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\frac{z+x-y-z}{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y-z}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\frac{x-y}{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}\Rightarrow\frac{y-z}{\frac{1}{6}}=\frac{x-y}{\frac{2}{15}}\)

\(\Rightarrow6\left(y-z\right)=\frac{15\left(x-y\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(y-z\right)=\frac{5\left(x-y\right)}{2}\)

Nhân cả hai vế với \(\frac{1}{10}\) ta có:

\(\frac{2\left(y-z\right)}{10}=\frac{5\left(x-y\right)}{20}\Leftrightarrow\frac{y-z}{5}=\frac{x-y}{4}\)(ĐPCM)

làm thì không biết đúng không mà chắc cugx được nhưng dài khi mô đi học đưa giấy cho chứ ghi trên này mỏi lắm 

nhung ma ban o dau

Động não tí đi Quỳnh, a thấy bài này cũng không khó.

Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :))  (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:

\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)

\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)

Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z,  Xong! :))

Bài 1:

\(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2\left(x+y\right)}{30}=\frac{5\left(y+z\right)}{30}=\frac{3\left(z+x\right)}{30}\)

\(\Rightarrow\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{z+x}{10}=\frac{y+z}{6}=\frac{\left(z+x\right)-\left(y+z\right)}{10-6}=\frac{x-y}{4}\left(1\right)\)

\(\frac{x+y}{15}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(x+y\right)-\left(z+x\right)}{15-10}=\frac{y-z}{5}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{x-y}{4}=\frac{y-z}{5}\) (đpcm)

Bài 2: 

\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\left(1\right)\)

Ta lại có: \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\) (đpcm)

Đúng rồi !!! 

Thank youuuuuuuuuuuuuuuu