Cho 3 số tự nhiên a,b,c.Chứng minh rằng nếu a+b+c chia hết cho 3 thì\(a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2\) chia hết cho 6
cho 3 số tự nhiên a,b,c.Chứng minh rằng nếu a+b+c chia hết cho 3 thì \(a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2\)chia hết cho 6
Cho 3 số tự nhiên a,b,c.CMR nếu a+b+c chia hết cho 3 thì \(a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2\)chia hết cho 6
Đặt: \(S=a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2=\)
\(S=a^3-a+b^3-b+c^3-c+3a^2-3a+3b^2-3b+3c^2-3c+4\cdot\left(a+b+c\right)\)
Ta có: \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Tương tự b3 - b và c3 - c cũng chia hết cho 6. (1).
Mặt khác, \(3a^2-3a=3a\left(a-1\right)\)chia hết cho 3 mà a(a-1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => a(a-1) chia hết cho 2. Do đó 3a(a-1) chia hết cho 6 => 3a2 - 3a chia hết cho 6. Tương tự, 3b2 - 3b; 3c2 - 3c cũng chia hết cho 6. (2)
Theo đề bài thì a+b+c chia hết cho 3 nên 4*(a+b+c) chia hết cho 6 (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra S là tổng các số chia hết cho 6 nên S chia hết cho 6. đpcm
Cho 3 số tự nhiên a,b,c. C/m:
Nếu a+b+c chia hết cho 3 thì a3+b3+c3+3a2+3b2+3c2 chia hết cho 6
Ta có: \(S=a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2\)
\(=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)+\left(3a^2-3a\right)+\left(3b^2-3b\right)+\left(3c^2-3c\right)+4\left(a+b+c\right)\)
\(=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)+3a\left(a-1\right)+3b\left(b-1\right)+3c\left(c-1\right)+4\left(a+b+c\right)\)
Ta thấy: \(\hept{\begin{cases}a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\\b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\\c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\end{cases}}\)(1)
\(\hept{\begin{cases}3a\left(a-1\right)⋮6\\3b\left(b-1\right)⋮6\\3c\left(c-1\right)⋮6\end{cases}}\)(2)
\(4\left(a+b+c\right)⋮6\)(3)
Từ (1),(2),(3) ta suy ra \(S⋮6\)
1.Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn ab=cd.Chứng minh rằng \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số.
2.Cho các số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng:
a, Nếu\(a^2+b^2\)chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.
b, Nếu\(a^2+b^2\)chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7.
3.Cho các số nguyên a,b,c.Chứng minh rằng:
a, Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3\)chia hết cho 6.
b, Nếu a+b+c chia hết cho 30 thì \(a^5+b^5+c^5\)chia hết cho 30
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......
3. a) Xét hiệu \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2.3=6\)( tích của 3 số nguyên liên tiếp)
Tương tự: \(b^3-b⋮6\)và \(c^3-c⋮6\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\Leftrightarrow a+b+c⋮6\)
b) Ta có: \(30=2.3.5\)và 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Theo định lý Fermat: \(a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^4\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^5\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\)
\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^5\equiv a^3\equiv a\left(mod3\right)\)
\(a^5\equiv a\left(mod5\right)\)
Theo tính chất của phép đồng dư, ta có:
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2\right)\)
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod3\right)\)
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod5\right)\)
Do đó: \(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2.3.5\right)\). Tức là nếu a+b+c chia hết cho 30 thì ....(đpcm)
Cho 3 số tn a,b,c. CMR neus a+b+c chia hết cho 3 thì a^3+b^3+c^3+3a^2+3b^2+3c^2 chia hết cho 6
1) Chứng minh rằng tích của 1 số chính phương và số tự nhiên đứng liền kề trước nó chia hết cho 12.
2) chứng minh rằng nếu a2 + b2 chia hết cho 3 thì a và b đồng thời chia hết cho 3.
3) chứng minh nếu a3 +b3 +c3 chia hết cho 9 thì ít nhất 1 trong 3 số a,b,c chia hết cho 3
Chứng minh rằng tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tổng của 5 số tự nhiên không chia hết cho 5
Bài 2:Chứng minh rằng:
a,Tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
b,Tổng ba số lẻ liện tiếp không chia hết cho 6
c,nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
d, P=a+a^2+a^3+...+a^2n chia hết cho a+1;a,n thuộc N
e, Nếu a và b chia cho 7 có cùng số dư thì hiệu a-b chia hết cho 7
giúp em mới cầu xin đó
Bài 5: Chứng minh rằng:
a, a thuộc Z thì a( a+1 )( a+2 ) chia 3
b, Nếu ( a-b ) chia hết cho 4 thì ( a - 7b ) chia hết cho 4
c, Nếu a chia hết cho 4; b thuộc Z thì ( -2a - 8b ) chia hết cho 8
d, Nếu a,b thuộc Z; ( a + 2b + 3c ) chia hết cho 5 thì ( a + 3b + 7c ) chia hết cho 5
1) Chứng minh rằng :
a) Tổng hai số tự nhiên lẻ liên tiếp thì chia hết cho 4
b) Tổng ba số tự nhiên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
2) Tìm số tự nhiên n, sao cho
a) n2 - 4 chia hết cho n - 3
b) n2 + 2n + 6 chia hết cho n + 4
3) Tìm số tự nhiên a: b biết :
a) ( a + 1 ) x ( 2y - 1 ) = 12
b) ( 3a - 2 ) x ( 2b - 3 ) = 1
c) a + 6 = b x ( a - 1 )
d) ( 2a + 3 ) x ( b - 1 ) = 15
e) a + 4 = b x ( a + 1 )
Mình cần gấp lắm ! Ai biết xin giúp mình ! Cảm ơn nhiều !