** Bổ sung điều kiện $x,y$ là các số nguyên. 

$x+5y+xy=6$

$(x+xy)+5y=6$

$x(1+y)+5(y+1)=11$

$(y+1)(x+5)=11$
Vì $x,y$ nguyên nên $x+5, y+1$ cũng nguyên. Ta xét các TH sau:

TH1: $x+5=1, y+1=11\Rightarrow x=-4; y=10$
TH2: $x+5=11, y+1=1\Rightarrow x=6; y=0$

TH3: $x+5=-1; y+1=-11\Rightarrow x=-6; y=-12$

TH4: $x+5=-11; y+1=-1\Rightarrow x=-16; y=-2$

\(\left(x+2\right)\left(y+3\right)=9\)

\(=>x+2;y+3\)thuộc \(Ư\left(9\right)\)

Mà \(Ư\left(9\right)=\left\{\left(1;9\right),\left(3;3\right)\right\}\)

Nếu  \(x+2=1=>x=-1\)\(;y+3=9=>y=6\)

Nếu \(x+2=9=>x=7\)\(;\)\(y+3=1=>y=-2\)

Nếu \(x+2=3=>x=1\)\(;\)\(y+3=3=>y=0\)

Vậy............

Có (x + 2)(y + 3) = 9 => x + 2; y + 3 ∈ Ư(9)

Mà x, y ∈ N => x + 2; y + 3 ∈ N

=> x + 2; y + 3 ∈ {1; 3; 9}

Lập bảng giá trị:

Đối chiếu điều kiện x; y ∈ N

=> Cặp (x; y) cần tìm là (1; 0).

Vậy chỉ có 1 cặp (x;y) thỏa mãn đề