cho a,b,c duong:
chứng minh bất đẳng thức:
a^2/b+c+b^2/a+c+c^2/a+b=(a+b+c)/2
Những câu hỏi liên quan
chứng minh bất đẳng thức a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2>a^2+b^2+c^2
Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
VT : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab + b2 ) + (b2 + 2bc + c2) + ( a2 + 2ac + c2)
= (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 = VP
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)
Chứng minh bất đẳng thức : \(\dfrac{a+b}{a^2+b^2}+\dfrac{b+c}{b^2+c^2}+\dfrac{c+a}{c^2+a^2}\)\(\forall a,b,c>0;a+b+c=ab+ac+ca\)
Đề bài thiếu, yêu cầu chứng minh gì nhỉ bạn?
Đúng 1
Bình luận (1)
cho a,b,c dương chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=VP\)
BĐT được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Cách 2
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(\frac{a^2}{b+c}+4\left(b+c\right)\ge2\sqrt{4a^2}=4a\)
Tương tự \(\frac{b^2}{c+a}+4\left(c+a\right)\ge4b\)
\(\frac{c^2}{a+b}+4\left(a+b\right)\ge4c\)
Cộng từng vế ta được đpcm
Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh bất đẳng thức.
(a+b)/(bc+a^2) +(b+c)/(ac+b^2) + (c+a)/(ab+c^2) <= 1/a +1/b +1/c
15 tháng 10 2017 lúc 21:04
Cho a,b,c là số dương . Chứng minh bất đẳng thức :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Đặt \(b+c=x;a+c=y;a+b=z\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có :
\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2\right)\ge\left(\frac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Áp dụng S-vác-sơ, ta có
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
pham trung thanh giải theo cách lớp 8 đc ko ạ !
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh bất đẳng thức căn(2/a) + căn(2/b) + căn(2/c) <= căn((a+b)/ab) + căn((b+c)/bc) + căn((c+a)/ac)
cho a,b,c là các số dương. chứng minh các bất đẳng thức: \(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)
Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $a+b+c=6$.
Chứng minh bất đẳng thức sau: $\dfrac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+b^{2}} \geq 3$.
Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^3+ab^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) và \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 2
