Cho m, n là các số thỏa mãn : 3m2 + n = 4m2 + n. Chứng minh ( m - n ) và ( 4m + 4n + 1 ) đều là số chính phương
Chứng minh rằng : Nếu m,n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n thì 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.
Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d.
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
3m2+m=4n2+n
=>(m-n)(4m+4n+1)=m2(1)(phân tích ra là về cái ban đầu nhé)
Gọi d là 1 ước chung của m-n và 4m+4n+1
=>(m-n)(4m+4n+1) chia hết cho d.d=d2
Từ (1) =>m2 chia hết cho d2
=>m chia hết cho d
Mà m-n cũng chia hết cho d => n chia hết cho d
=>4m+4n+1 chia d dư 1(vô lí vì d được giả sử là ước của 4m+4n+1)
=>4m+4n+1 và m-n nguyên tố cùng nhau
khi phân tích a hoặc b có thừa số nguyên tố p với mũ lẻ mà 2 số này nguyên tố cùng nhau nên số còn lại không chưa p =>m2 bằng tích của p với 1 số khác p.Mà m2 là số chính phương nên điều trên là vô lí
=>m-n và 4m+4n+1 phải cùng là số chính phương(ĐPCM)
Hơi khó hiểu nhưng đúng đó Đây là mình cố giải thích cho bạn chứ thực ra k có dòng giải thích dài dài kia đâu
Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương
giải :
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.
Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d.
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 4m2 + m = 5n2 + n thì m - n và 5m + 5n + 1 đều là số chính phương
Chứng minh rằng: Nếu m,n là các số tự nhiên thoả mãn :
\(3m^2+m=4n^2+n\) thì \(m-n\)và \(4m+4n+1\)đều là số chính phương
Giúp cai nka tối mik phải đi học
Bài 1:CMR các số sau là số chính phương:
a, A= 1...1(2018 số 1) * 2...2(2019 số 2) *5
b,n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 biết n thuộc Z+
Bài 2:CMR: vs n thuộc Z+ và n>6 thì số A là số chính phương
A=1+ 2*6*10*....*(4n-2) / (n+5)*(n+6)*....*(2n)
Bài 3: Tìm x,y thuộc Z thỏa mãn x^2+x+6=y^2
Bài 4 Cho m,n thuộc Z+ thỏa mãn 3m^2+m=4n^2+n. CMR
a, (m-n,3m+3n+1)=9
(n-m,4m+4n+1)=1
b,m-n vs 3m+3n+1 và 4m+4n+1 đều lá số chính phương
Bài 1:CMR các số sau là số chính phương:
a, A= 1...1(2018 số 1) * 2...2(2019 số 2) *5
b,n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 biết n thuộc Z+
Bài 2:CMR: vs n thuộc Z+ và n>6 thì số A là số chính phương
A=1+ 2*6*10*....*(4n-2) / (n+5)*(n+6)*....*(2n)
Bài 3: Tìm x,y thuộc Z thỏa mãn x^2+x+6=y^2
Bài 4 Cho m,n thuộc Z+ thỏa mãn 3m^2+m=4n^2+n. CMR
a, (m-n,3m+3n+1)=9
(n-m,4m+4n+1)=1
b,m-n vs 3m+3n+1 và 4m+4n+1 đều lá số chính phương
Giúp cái nha chiều đi học rồi
nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m2+m= 5n2+n thì m-n và 5m+5n+1 đều là số chính phương
bạn thi hsg ak bài nay dễ mak
có 4m^2+m=5n^2+n
<=>m-n+5m^2-5n^2=m^2
<=>(m-n)(5m+5n+1)=m^2 (1)
gọi ƯCLN(m-n;5m+5n+1)=d ta c/m d=1
có m-n chia hết d; m,n là các số tự nhiên
<=>5m-5n chia hết d
và có 5m+5n+1 chia hết d
=>10m+1 chia hết d (2)
(1)=> m^2 chia hết cho d
=>m chia hết d (m là số tự nhiên)
=>10m chia hết cho d (3)
từ (2),(3)=>1 chia hết cho d
=>d =1 (4)
từ (1),(4)=>đpcm.
bài này phải áp dụng kiến thức lớp 6 vào .
Nếu m,n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m2+m=5n2+n thì m-n và 5m+5n+1 đều là số chính phương
4m2 + m = 5n2 + n <=> (5m2 - 5n2) + (m - n) = m2 <=> 5.(m - n).(m + n) + (m - n) = m2
<=> (m - n).(5m + 5n + 1) = m2 (1)
Gọi d = ƯCLN (m- n; 5m + 5n + 1)
=> m - n chia hết cho d và 5m + 5n+ 1 chia hết cho d
=> m2 = (m - n).(5m + 5n + 1) chia hết cho d2
=> m chia hết cho d
lại có: 5.(m - n) + (5m + 5n + 1) = 10m + 1 chia hết cho d
10m chia hết cho d nên 1 chia hết cho d
=> m - n và 5m + 5n + 1 nguyên tố cùng nhau (2)
Từ (1)(2) => m - n; 5m + 5n + 1 đều là số chính phương
Ta có:
4m2 + m
= 5n2 + n
<=> (5m2 - 5n2) + (m - n) = m2
<=> 5.(m - n).(m + n) + (m - n) = m2
<=> (m - n).(5m + 5n + 1) = m2 (*)
Gọi d = ƯCLN (m- n; 5m + 5n + 1)
=> m - n chia hết cho d và 5m + 5n+ 1 chia hết cho d
=> m2 = (m - n).(5m + 5n + 1) chia hết cho d2
=> m chia hết cho d
Ta lại có: 5.(m - n) + (5m + 5n + 1) = 10m + 1 chia hết cho d
10m chia hết cho d nên 1 chia hết cho d
=> m - n và 5m + 5n + 1 nguyên tố cùng nhau (**)
Từ (*)(**) => m - n; 5m + 5n + 1 đều là số chính phương
hok tốt
Cho m ,n là 2 số tự nhiên thỏa mãn 4m2 +m = 5n2 +n. Chứng minh rằng m-n và 5m+5n +1 là số chính phương
Để giải được bài toán sau thì ta liên tưởng đến một tính chất rất đặc biệt và hữu ích được phát biểu như sau:
\("\) Nếu \(a,b\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và \(a.b\) là một số chính phương thì \(a\) và \(b\) đều là các số chính phương \("\)
Ta có:
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow\) \(4m^2+m-5n^2-n=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(5m^2-5n^2+m-n=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\) \(\left(\text{*}\right)\)
Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(m-n\) và \(5m+5n+1\) \(\left(\text{**}\right)\), khi đó:
\(m-n\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(5\left(m-n\right)\) chia hết cho \(d\)
\(5m+5n+1\) chia hết cho \(d\)
nên \(\left[\left(5m+5n+1\right)+5\left(m-n\right)\right]\) chia hết cho \(d\)
\(\Leftrightarrow\) \(10m+1\) chia hết cho \(d\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác, từ \(\left(\text{*}\right)\), với chú ý cách gọi ở \(\left(\text{**}\right)\), ta suy ra được: \(m^2\) chia hết cho \(d^2\)
Do đó, \(m\) chia hết cho \(d\)
\(\Rightarrow\) \(10m\) chia hết cho \(d\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\), ta có \(1\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(d=1\)
Do đó, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau
Kết hợp với \(\left(\text{*}\right)\) và điều mới chứng minh trên, thỏa mãn tất cả các điều kiện cần thiết ở tính chất nêu trên nên ta có đpcm
Vậy, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) đều là các số chính phương.