Ta xét thấy số chính phương là bình phương của một số tự nhiên (vd: 4;9;16;....)

=> 2 chữ số cuối sẽ là a^2

Nếu a=9 thì a^2=81 ( không thỏa mãn đk)

Nếu a=8 thì a^2=64 và chữ số đầu là 1

=> 64:16=4

vậy số đó là 164

2 chữ số đầu là số có 2 chữ số là M=10a+b và 4M<100<==>M<25==>M=16
Thấy 4M=64 cũng là số chính phương nên chỉ có duy nhất 1 số là 164. 

gọi số cần tìm là abc . 

ta có :

ab ; bc là lập thành các số chính phương . 

các số chính phương có 2 chữ số :

16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 .

tách dãy số trên thành từng cặp mà chữ số hàng đơn vị của số thứ nhất bằng hàng chục của số thứ 2 , ta có :

36 và 64 

81 và 16 

16 và 64 

mà 36 và 64 không thỏa mãn yêu cầu vì 64 : 36 = 2

      81 và 16 cũng không thỏa  mãn , vậy chỉ có 16 và 64

số này là :

 164

đ/s : 164

Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\) (a,b,c \(\in N\), 10 > a,b,c \(\ge0\))

TH1: \(\overline{ab}=4\overline{bc}\)

=> \(10a+b=40b+4c\)

=> \(10a=39b+4c\)

Mà b\(\ge1,c\ge0\) => \(39b+4c\ge39\)

=> 10a \(\ge39\)

=> a \(\ge4\)

Do \(\overline{ab}\) là số chính phương

=> \(\overline{ab}\in\left\{49;64;81\right\}\)

- Với \(\overline{ab}=49\) => \(\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=9\end{matrix}\right.\) => 4c = -311 (loại)

- Với \(\overline{ab}=64=>\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=4\end{matrix}\right.\) => 4c = - 96 (loại)

- Với \(\overline{ab}=81=>\left\{{}\begin{matrix}a=8\\b=1\end{matrix}\right.\) => 4c = 41 => c = \(\dfrac{41}{4}\) (loại)

TH2: \(4\overline{ab}=\overline{bc}\)

=> 40a + 4b = 10b + c

=> 40a = 6b + c

Mà \(b\le9;c\le9\)

=> 6b + c \(\le63\)

=> 40a \(\le63\)

=> a \(\le1\)

=> a = 1

Mà \(\overline{ab}\) là số chính phương

=>  \(\overline{ab}\)  = 16

=> b = 6

=> c = 4

Vậy số cần tìm là 164

Gọi số tự nhiên phải tìm là abcd(a,d\(\ne\)0; a,b,c,d <10)

Vì số chính phương có 4 chữ số có 2 chữ số đầu và 2 chữ số cuối ( không đổi thứ tự các chữ số) tạo thành 2 số chính phương

=> ab và cd à 2 số chính phương.

TH1: Nếu ab=cd, mà ab và cd là 2 số chính phương

=>ab\(\in\){ 16; 25;36;49;64;81}

cd\(\in\){16;25;36;49;64;81}

Ta được các số 1616;2525;3636;4949;6464;8181

Ta thấy: 1616;2525;4949;6464 chia cho 3 đều dư 2( do 1+6+1+6; 2+5+2+5;4+9+4+9;6+4+6+4 đều chia cho 3 dư 2)

Mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1

=> 4 số trên đều không phải là số chính phương

TH2: Nếu ab\(\ne\)cd; mà cd và ab là 2 số chính phương

=> Ta lập được các số

1625;2516; 3616; 4916;6416;8116

1636; 2536;3625;4925;6425;8125

1649; 2549;3649;4936;6436;8136

1664;2564;3664;4964;6449;8149

1681 ; 2581; 3681;4981;6481;8164

Mà số chính phương chia cho 3 dư 0;1

=>Các số 1625;1664;1649;2516;2549;2564;4916;4925; 4964;6416;6425;6449 không phải là số chính phương.

Sau đó phân ích các số còn lại ra thừa số nguyên tố rồi thử chọn