không biết làm

Ta có:

\(2222\equiv-4\left(mod7\right)\Rightarrow2222^{5555}\equiv\left(-4\right)^{5555}\left(mod7\right)\left(1\right)\)

\(5555\equiv4\left(mod7\right)\Rightarrow5555^{2222}\equiv4^{2222}\left(mod7\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2222^{5555}+5555^{2222}\equiv\left(-4\right)^{5555}+4^{2222}\left(mod7\right)\)

Mà (-4)⁵⁵⁵⁵ + 4²²²² = -4²²²².(4³³³³ - 1) = -4²²²².[(4³)¹¹¹¹ - 1] = -4²²²².(64¹¹¹¹ - 1)

Lại có: \(64\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow64^{1111}\equiv1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow64^{1111}-1\equiv1-1\left(mod7\right)\) hay \(64^{1111}-1⋮7\)

\(\Rightarrow-4^{2222}.\left(64^{1111}-1\right)⋮7\)

hay \(2222^{5555}+5555^{2222}⋮7\left(đpcm\right)\)

=2222^5555 +4^5555 +5555^2222 -4^2222-(4^5555 -4^2222) 
=(2222+4).M +(5555-4).N -(4^3333.4^2222 -4^2222) 
=(2222+4).M +(5555-4).N -4^2222(4^3333-1) 
==(2222+4).M +(5555-4).N --4^2222 (64^1111-1) 
==(2222+4).M +(5555-4).N -4^2222(63K) 
ta thấy 2222+4=2226 chia hết 7 
5555-4 =5551 chia hết cho 7 
63 chia hết cho 7 
-=>(2222^5555) + (5555^2222) chia hết cho 7 
 

cách 1 
=2222^5555 +4^5555 +5555^2222 -4^2222-(4^5555 -4^2222) 
=(2222+4).M +(5555-4).N -(4^3333.4^2222 -4^2222) 
=(2222+4).M +(5555-4).N -4^2222(4^3333-1) 
==(2222+4).M +(5555-4).N --4^2222 (64^1111-1) 
==(2222+4).M +(5555-4).N -4^2222(63K) 
ta thấy 2222+4=2226 chia hết 7 
5555-4 =5551 chia hết cho 7 
63 chia hết cho 7 
-=>(2222^5555) + (5555^2222) chia hết cho 7 

cách 2 ta có công thức (a+b)^n =a^n +a^(n-1).b...............b^n (n chẳn) 
(a-b)^n = a^n+...............+-b^b(n lẻ) 
(2222^5555) + (5555^2222) 
=(7.317 +3)^5555 + (7.793+4)^2222 
=7K+3^5555 +7P+4^2222 
=7K+7P +(3^5)^1111 + (4^2)^1111 
=7P+7k +(259)U chia hết cho 7 

Mình áp dụng công thức a^m +hoặc - b^m =( a + hoặc - b ) . M

= 2222^5555 + 4^5555 + 5555^2222 - 4^2222 - ( 4^5555 - 4^2222 )
=( 2222 + 4 ) . M + ( 5555 - 4 ) . N - ( 4^3333 . 4^2222 - 4^2222 )
=( 2222 + 4 ) . M + ( 5555 - 4 ) . N -4^2222 ( 4^3333 - 1 )
=( 2222 + 4 ) . M + ( 5555 - 4 ) . N - 4^2222 ( 64^1111 - 1 )
=( 2222 + 4 ) . M + ( 5555 - 4 ) . N - 4^2222 ( 63K )
Ta thấy 2222+4=2226 chia hết 7
5555-4 =5551 chia hết cho 7
63 chia hết cho 7
-=>(2222^5555) + (5555^2222) chia hết cho 7

Ta thấy :

Đào 1m : Trả 1 đồng

Đào 2m : Trả 1 x 2 = 2 đồng

Đào 3m : Trả 1 x 2 x 2 = 4 đồng

.......

Đào 10m : Trả 1 x 2 x 2 x ... x 2 = 512 đồng ﴾9 thừa số 2﴿

Vậy số tiền tên nhà giàu phải trả là :

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 ﴾đồng﴿

Đáp số : 1023 đồng 

Một tên nhà giàu keo kiệt thuê người đào giếng . Người thợ đòi tiền công 100 đồng , tên nhà giàu không bằng lòng vì chê đắt quá . Người thợ bèn nói : " Thế thì tính như sau : 1m đầu trả 1 đồng , 1m thứ hai trả 2 đồng , 1m thứ ba trả 4 đồng , 1m thứ tư trả 8 đồng ,..., cứ trả như thế cho đến khi xong việc " . Tên nhà giàu nghĩ là quá rẻ nên bằng lòng ngay . Hãy nghĩ xem tên nhà giàu phải trả bao nhiêu tiền công khi giếng đào sâu tới 10m ?

Ta thấy :

Đào 1 m : Trả 1 đồng

Đào 2 m : Trả 1 x 2 = 2 đồng

Đào 3 m : Trả 1 x 2  x 3 = 6 đồng

.....................................................

Đào 10 m : Trả 1 x 2 x 2 x ... x 2 = 512 đồng ( có 9 thừa số 2 )

Số tiền cần trả :

1  + 2  + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 đồng