cho a,b.c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3
CMR \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}>\dfrac{2018}{2003}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR: \(\dfrac{1}{2+a^2b}+\dfrac{1}{2+b^2c}+\dfrac{1}{2+c^2a}\) ≥ 1
Cho 3 số thực dương a,b.c thỏa mãn abc=1 cmr:\(\dfrac{b+c}{\sqrt{a}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{b}}+\dfrac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)
Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR:
\(\dfrac{1}{a^2+b^2+2}+\dfrac{1}{b^2+c^2+2}+\dfrac{1}{c^2+a^2+2}\le\dfrac{3}{4}\)
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{c^2+b^2+2}+\frac{1}{a^2+c^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Cần chứng minh \(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) *luôn đúng*
Đúng 0
Bình luận (0)
28 tháng 5 2022 lúc 19:16
Xét các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc=a+b+c+2\). CMR:
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le \dfrac{3}{4}$$
a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. CMR: \(\dfrac{10a}{1+a^2}+\dfrac{10b}{1+b^2}+\dfrac{10c}{1+c^2}< =9\)
Với x dương, ta có đánh giá:
\(\dfrac{x}{1+x^2}\le\dfrac{36x+3}{50}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(x^2+1\right)\left(36x+3\right)\ge50x\)
\(\Leftrightarrow36x^3+3x^2-14x+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2\left(4x+3\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\dfrac{10a}{1+a^2}+\dfrac{10b}{1+b^2}+\dfrac{10c}{1+c^2}\le10.\dfrac{36\left(a+b+c\right)+9}{50}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1 .CMR
\(\dfrac{3+a}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Bài này đã có ở đây:
Cho abc=1CMR\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\) - Hoc24
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1 .CMR
\(\dfrac{3+a}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 CMR:
\(\dfrac{3+a}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\). CMR: \(\dfrac{a^2}{a+bc}+\dfrac{b^2}{b+ca}+\dfrac{c^2}{c+ba}\le\dfrac{a+b+c}{4}\)
Sửa \(\le\) thành \(\ge\) nha bạn
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)
Ta có \(\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^3}{a^2+abc}=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b+ca}=\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\\\dfrac{c^2}{c+ba}=\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT cosi:
\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3}{4}a\)
\(\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{b^3}{64}}=\dfrac{3}{4}b\)
\(\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^3}{64}}=\dfrac{3}{4}c\)
Cộng VTV:
\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{8}\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=3\)
Đúng 1
Bình luận (0)