Cho S = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + ........+ k(k+1)(k+2). Chứng minh: 4S + 1 là số chính phương
S = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + ...... + k(k+1)(k+2). Chứng minh 4S +1 là số chính phương
Lời giải:
$4S=1.2.3(4-0)+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]$
$=[1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+...k(k+1)(k+2)(k+3)]-[0.1.2.3+1.2.3.4+2.3.4.5+....+(k-1)k(k+1)(k+2)]$
$=k(k+1)(k+2)(k+3)$
$\Rightarrow 4S+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1=[k(k+3)][(k+1)(k+2)]+1$
$=(k^2+3k)(k^2+3k+2)+1=(k^2+3k)^2+2(k^2+3k)+1=(k^2+3k+1)^2$
$\Rightarrow 4S+1$ là số chính phương.
Cho S = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + ........+ k(k+1)(k+2). Chứng minh: 4S + 1 là số chính phương
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\frac{1}{4}n\left(n+1\right)\left(n+2\right).4=\frac{1}{4}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\)
\(=-\frac{1}{4}\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\frac{1}{4}n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
\(4S=-0.1.2.3+1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-....-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)+k\left(k+2\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)
\(=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)
\(4S+1=\left(k^2+3k\right)\left(k^2+3k+2\right)+1=\left(k^2+3k\right)^2+2.\left(k^2+3k\right)+1\)
\(=\left(k^2+3k+1\right)^2\)
ta có:
4s=1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+.........+k(k+1)(k+2)((k+3)-(k-1))
4s=1.2.3.4-1.2.3.0+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+........+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)
4s=k(k+1)(k+2)(k+3)
ta biết rằng tích 4 số tự nhiên liên tiếp khi cộng thêm 1 luôn là 1 số chính phương
=>4s+1 là 1 số chính phương
Cho S = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + ........+ k(k+1)(k+2). Chứng minh: 4S + 1 là số chính phương
ta có:
4s=1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+.........+k(k+1)(k+2)((k+3)-(k-1))
4s=1.2.3.4-1.2.3.0+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+........+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)
4s=k(k+1)(k+2)(k+3)
ta biết rằng tích 4 số tự nhiên liên tiếp khi cộng thêm 1 luôn là 1 số chính phương
=>4s+1 là 1 số chính phương
Cho S= 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+49x50x51
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 4s+n là số chính phương
Cho S= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.
S.4=1.2.3.4+2.3.4.4+...+k(k+1)(k+1).4
=1.2.3(4-0)+2.3.4.(5-1)+...+k(k+1)(k+2)(k+3-k-1)
=1.2.3.4-0+1.2.3.4-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)
=(k-1)k(k+1)(k+2)
=>4S+1=(k-1)k(k+1)(k+2)+1
do (k-1)k(k+1)(k+2) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp mà tích 4 số tự nhiên liên tiếp +1 luôn là số chính phương ( cái này bạn tự chứng minh )
=> 4S+1 là số chính phương (đpcm)
Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1/4. k(k + 1)(k + 2). 4
= 1/4. k(k + 1)(k + 2). [(k + 3) - (k - 1)]
= 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Đây là tổng của 4 số liên tiếp cộng 1 nên luôn là số chính phương.
Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.
Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 1/4. k(k + 1)(k + 2). 4
= \(\frac{1}{4}\). k(k + 1)(k + 2). [(k + 3) - (k - 1)]
= \(\frac{1}{4}\). k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - 1/4. k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Đây là tổng của 4 số liên tiếp cộng 1 nên luôn là số chính phương.
Cho S = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k.(k+1).(k+2)
Chứng minh rằng 4S +1 là 1 số chính phương
Ta có : \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right).4\)
\(=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\frac{1}{4}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k-1\right)\)
=> 4S = 1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2)(k-1)
\(=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)
=> \(4S+1=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1\)
\(=\left[k\left(k+3\right)\right]\left[\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right]+1\)
\(=\left[\left(k^2+3k\right)\left(k^2+k+2k+2\right)\right]+1\)
Đặt \(t=k^2+3k\)
\(=>4S+1=t\left(t+2\right)+1\)
= \(t^2+2t+1\)
\(=\left(t+1\right)^2\)
\(=>4S+1=\left(k^2=3k\right)^2=>4S+1\) là số chính phương
cho s=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k(k+1)(k+2)
chứng minh răng 4s+1 là số chính phương
Cho S = 1*2*3 + 2*3*4 + 3*4*5 + ...+k(k+1)(k+2)
chứng minh rằng 4S+1 là số chính phương