CMR : từ \(2^{n+1}-1\)số nguyên dương bất kì luôn tìm được \(2^n\)số sao cho tổng của chúng luôn chia hết cho \(2^n\)
Chứng minh rằng trong 52 số nguyên dương bất kì ta luôn tìm được hai số sao cho tổng của chúng chia hết cho 100
Ta xét 51 nhóm sau:
Nhóm 1: Các số tự nhiên chia hết cho 100
Nhóm 2: Các số tự nhiên chia 100 dư 1 và 99
Nhóm 3: Các số tự nhiên chia 100 dư 2 và 98
...
Nhóm 51: Các số tự chia 100 dư 50
Nếu có 2 số cùng chia hết cho 100 thì bài toán đã chứng minh
Nếu không có 2 số chia hết 100 thì ta làm như sau:
Vì có 52 số mà có 51 nhóm nên theo nguyên lí Đi rich lê phải có 1 nhóm có tổng hoặc hiệu chia hết cho 100
=> Đpcm
đây nha bạn chúc bạn học tốt
Nếu có hai số có cùng số dư khi chia cho 100 thì bài toán được giải quyết
Giả sử có ít nhất 51 số không chia hết cho 100.Xét 50 cặp :(1,99),(2,98),......(49,51),(50,50) mà mỗi cặp có tổng là 100
Theo Đi-rich-lê ta có trong 51 số đã giả sử ở trên luôn tồn tại 2 số mà số dư của chúng khi chia cho 100 cùng rơi vào 1 cặp trong 50 cặp ở trên
=> tổng của chúng chia hết cho 100
=> dpcm
HT nha bn
a,Tìm 2 sồ nguyên tố sao cho: x2 - 6y2=1
b, có 25 số tự nhiên được lập từ 4 chữ số . CMR trong các số ấy ta tìm được 2 số bằng nhau
c, cho 8 số tự nhiên bất kì . CMR ta luôn tìm được 2 trong 8 số ấy khi chia cho 7 có cùng số dư
d, cho 7 số tự nhiên bất kì . CMR ta luôn tìm được 3 số mà tổng của chúng chia hết cho 3
Chứng tỏ rằng không tồn tại 6 số nguyên dương phân biệt sao cho tổng 4 số bất kì trong chúng luôn chia hết cho tổng 2 số còn lại
Bài 1: CMR từ 102 số tự nhiên bất kì luôn có thể tồn tại 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 200.
Bài 2: CMR từ 10 số tự nhiên bất kì (a1, a2, a3, ... , a10) thì luôn tồn tại 4 số có tổng chia hết cho 4.
Bài 3: CMR từ 13 số tự nhiên bất kì luôn tồn tại 4 số có tổng chia hết cho 4.
cho 2015 số nguyên bất kì dương nhỏ hơn 2015.Tổng của 2015 số ấy là 4030,chứng minh rằng trong 2015 số nguyên dương ấy ta luôn chọn được 2 số mà tổng của chúng chia hết cho 2015
1 ,lik e nhé lik e rồi tớ hướng dẫn cách giải đó
Tìm số nguyên không âm biết rằng 5 lần số đó được bao nhiêu rồi bớt đi 6 thì chia hết cho tổng của số đó với 3(giải chi tiết)
2.Cho 7 số tự nhiên bất kì a1;a2;a3;...;a7.Cmr luôn chọn được 4 số từ những số trên để tổng của chúng chia hết cho 4
1.
Gọi số cần tìm là \(n\)(\(n\in Z\)|\(n\le0\))
Theo đề bài ta có:
\(5n-6⋮n+3\)
\(5n+15-21⋮n+3\)
\(5\left(n+3\right)-21⋮n+3\)
\(\Rightarrow-21⋮n+3\)
\(\Rightarrow n+3\inƯ\left(-21\right)\)
\(Ư\left(-21\right)=\left\{-21;-7;-3;-1;1;3;7;21\right\}\)
Ta có bảng sau:
n+3 | -21 | -7 | -3 | -1 | 1 | 3 | 7 | 21 |
n | -24 | -10 | -6 | -4 | -2 | 0 | 4 | 18 |
Ta thấy n chỉ có 0;4;18 thỏa mãn điều kiện
Vậy các số cần tìm là 0;4;18
Chứng minh rằng trong n+1 STN bất kì luôn có thể tìm đc 2 số cs hiệu của chúng chia hết cho n
trong phép chia 1 số cho n có n số dư từ 0 đên n-1. có n+1 số NT chia cho n, theo nguyên lí Dirichlet, có ít nhất 2 số trong n+1 số này chia cho n có cùng 1 số dư nên hiệu của 2 số này chia hết cho n
Bn nào thông minh xinh đẹp, đẹp trai dễ thương, học giỏi, chăm chỉ giải cho mk bài này mk k cho !
Chứng minh trong 52 số nguyên dương bất kì luôn tìm được hai số sao cho tổng hoặc hiệu của hai số đó chia hết cho 100
Nếu có 2 số có cùng số dư khi chia hết cho 100 thì bài toán được giải.Giả sử không có hai số nào cùng số dư khi chia cho 100.Khi đó,có ít nhất 51 số khi chia hết cho 100 có số dư khác 50 là \(a_1,a_2,...,a_{50}\)
Đặt \(b_i=-a_i\left(1\le i\le51\right)\)
Xét 102 số : \(a_i\)và \(b_i\)
Theo nguyên tắc của Dirichlet thì tồn tại \(i\ne j\)sao cho \(a_i\equiv b_j\left(mod100\right)\)
=> \(a_i+a_j⋮100\)
CMR: lập phương của 1 số nguyên n bất kì (n>1) trừ đi 13 lần số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6.
Gọi số nguyên đó là a. Ta cần chứng minh
a3+11a⋮6a3+11a⋮6
Xét: a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6a3+11a=a(a2+11)=a(a2−1+12)=a(a2−1)+12a=a(a+1)(a−1)+12a⋮6
Vậy ta có đpcm.
Lời giải:
Xét biểu thức A=n3−13nA=n3−13n. Ta cần cm A⋮6A⋮6
Thật vậy: A=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12nA=n3−13n=n3−n−12n=n(n2−1)−12n
A=n(n−1)(n+1)−12nA=n(n−1)(n+1)−12n
Vì n,n−1n,n−1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)⋮2n(n−1)⋮2
⇒n(n−1)(n+1)⋮3⇒n(n−1)(n+1)⋮3
Vì n−1,n,n+1n−1,n,n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n−1)(n+1)⋮3n(n−1)(n+1)⋮3
Kết hợp với (2,3) nguyên tố cùng nhau, do đó: n(n−1)(n+1)⋮6n(n−1)(n+1)⋮6
Mà 12n⋮612n⋮6
⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6⇒A=n(n−1)(n+1)−12n⋮6⇔n3−13n⋮6
Ta có đpcm.
Ta phải chứng minh: \(A\left(n\right)=n^3-13n⋮6\)
Chú ý rằng: \(13n=12n+n\), mà \(12n⋮6\), ta biến đổi A(n) thành:
\(A\left(n\right)=\left(n^3-n\right)-12n\)
Ta có: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp, tích này luôn chia hết cho 6. A(n) là hiệu của 2 hạng tử: \(n^3-n\)và 12n, mỗi hạng tử chia hết cho 6, nên \(A\left(n\right)⋮6\left(đpcm\right)\)
Trong n số tự nhiên bất kì : a1;a2;.....;an luôn tìm được 1 số chia hết cho n hoặc 2 số có iệu chia hết cho n
gọi
\(b_1,b_2,..b_n\) là phép chia lấy phần dư của các \(a_1,a_2,...,a_n\) cho n
.Giả sử không có số nào chia hết cho n, thì các \(b_i\) đều là các số tự nhiện nằm trong khoảng \(1\le b_i\le n-1\)
do có n phần tử \(b_i\) mà chỉ có n-1 giá trị nên theo nguyên lí dirichlet tồn tại hai số \(b_i\) \(=b_j\)
Hay nói cách khác \(a_i\text{ và }a_j\text{ đồng dư mode n}\)
hay hiệu \(a_i-a_j\) chia hết cho n
vậy ta có điều phải chứng minh