5n + 13 \(⋮\) n + 2 (n \(\in\) N*)

5n + 10 +   3 ⋮ n + 2

 5.(n + 2) + 3 ⋮ n + 2

                   3 ⋮ n + 2

  n + 2  \(\in\) Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

  n \(\in\) {-5; -3; -1; 1}

Vì n   \(\in\) N nên n = 1

Lời giải:

$n+13\vdots n-2$

$\Rightarrow (n-2)+15\vdots n-2$

$\Rightarrow 15\vdots n-2$

$\Rightarrow n-2\in\left\{\pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 15\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{3; 1; 5; -1; 7; -3; 17; -13\right\}$

Do $n$ là số tự nhiên nên $n\in\left\{3; 1; 5; 7; 17\right\}$

Ta có : 

     (n+13) : (n-2)

= (n - 2 + 15) : (n-2)

= (n-2) : (n-2) + 15 : (n-2)

= 1 + 15 : (n - 2)   (1)

Để n + 13 chia hết cho (n-2) thì (1) phải thuộc Z, 1 luôn là số nguyên, 15 : (n - 2) là nguyên khi n - 2 thuộc Ư(15)

Mà: Ư(15) = {1;3;5;15}

. n - 2 = 1

=>n = 1 + 2 = 3

  n - 2 = 3

=>n = 3 + 2 = 5

  n - 2 = 5

=>n = 5 + 2 = 7

  n - 2 = 15

=>n = 15 + 2 = 17

Vậy khi n \(\in\) {3;5;7;17} thì (n + 13) chia hết (n - 2)

Điều kiện \(n\inℕ\)

Vì \(5n+15⋮n+2\)nên \(\frac{5n+15}{n+2}\)phải là số tự nhiên.

Mà \(\frac{5n+15}{n+2}=\frac{5n+10+5}{n+2}=\frac{5\left(n+2\right)}{n+2}+\frac{5}{n+2}=5+\frac{5}{n+2}\)

Mặt khác \(\frac{5n+15}{n+2}\inℕ\Rightarrow5+\frac{5}{n+2}\inℕ\)mà \(5\inℕ\Rightarrow\frac{5}{n+2}\inℕ\)

\(\Rightarrow n+2\inƯ^+\left(5\right)\Rightarrow n+2\in\left\{1;5\right\}\)

\(TH1:n+2=1\Rightarrow n=-1\)(loại vì n là số tự nhiên) 

\(TH2:n+2=5\Rightarrow n=3\)(nhận)

Vậy để \(5n+15⋮n+2\)thì n = 3

Ta  có : 5n+15 =       5n+15     = 5n+15       \(⋮\)     n+2

             n+2       =       5.( n+2)=5n+10   \(⋮\)n+2

\(\Rightarrow\)5n+15 - ( 5n+10 ) \(⋮\) n+2

\(\Rightarrow\) 5\(⋮\)n+2

\(\Rightarrow\)n+2\(\in\) ước của 5 

\(\Rightarrow\)n+2={ 1;5}

\(\Rightarrow\)n=3 ( lấy 5 - 2 )

vì : 5n+14 ⋮ n+ 2

⇒ ( 5n +10) +4 ⋮ ( n+2)

⇒ 5 (n + 2) + 4 ⋮ (n + 2)

mà : 5 (n + 2) ⋮ (n + 2)

nên: 4 ⋮ n + 2

⇒ n + 2 ϵ Ư (4)= {1;2;4}

Vì: n ϵ N ⇒ n + 2 ≥ 2

do đó : xảy ra hai trường hợp :

Vậy : n ϵ { 0;2}