Lấy P và Q lần lượt là trung điểm của OB và OC.

Xét \(\Delta\)BOC có: D là trung điểm của BC; P là trung điểm của OB => DP là đường trung bình \(\Delta\)BOC

=> DP // OC và DP = 1/2.OC. Mà Q là trung điểm OC => DP // OQ và DP = OQ

Xét tứ giác DPOQ có: DP // OQ; DP = OQ => Tứ giác DPOQ là hình bình hành

=> ^DPO = ^DQO (1)

Xét \(\Delta\)BHO: ^OHB = 90⁰; P là trung điểm OB => HP = OP = BP

Lại có: Tứ giác DPOQ là hbh (cmt) => OP = DQ => HP = DQ

Tương tự ta cũng có: DP = KQ

Mặt khác: HP = BP (cmt) => \(\Delta\)BHP cân tại P

Xét \(\Delta\)BHP cân đỉnh P có góc ngoài là ^HPO => ^HPO = 2.^HBP = 2.^ABO (2)

Tương tự: ^KQO = 2.^ACO (3)

Từ (2) và (3) kết hợp với ^ABO = ^ACO (gt) => ^HPO = ^KQO (4)

Từ (1) và (4) suy ra ^DPO + ^HPO = ^DQO + ^KQO => ^HPD = ^DQK

Xét \(\Delta\)PHD và \(\Delta\)QDK có: DP = KQ; HP = DQ; ^HPD = ^DQK => \(\Delta\)HPD = \(\Delta\)QDK (c.g.c)

=> HD = DK (2 cạnh tương ứng) => \(\Delta\)HDK cân ở D

Xét \(\Delta\)HDK cân đỉnh D có M là trung điểm cạnh HK => DM vuông góc HK (đpcm).

@Nguyễn Tất Đạt hình thang nào ạ?

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD.

I, K lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD, AC

Gọi F là trung điểm của BC

Trong tam giác ACB ta có:

K là trung điểm của cạnh AC

F là trung điểm của cạnh BC

Nên KF là đường trung bình của ∆ BDC

⇒ KF // AB và KF=12ABKF=12AB (tính chất đường trung bình của tam giá

Trong tam giác BDC ta có:

I là trung điểm của cạnh BD

F là trung điểm của cạnh BC

Nên IF là đường trung bình của ∆ BDC

⇒ IF // CD và IF=12CDIF=12CD (tính chất đường trung bình của tam giác)

FK // AB mà AB // CD nên FK // CD

FI // CD (chứng minh trên)

Suy ra hai đường thẳng FI và FA trùng nhau.

⇒ I, K, F thẳng hàng, AB < CD ⇒ FK < FI nên K nằm giữa I và F

IF = IK + KF

\(\eqalign{

& \Rightarrow IK = IF – KF \cr

& = {1 \over 2}CD – {1 \over 2}AB = {{CD – AB} \over 2} \cr} \)

Hình thang ABCD có AB//CD, AB<CD, E, F lần lượt là trg điểm của AC, BD
Kéo dài EF cắt DC tại I
Tam giác ABF=IDF(gcg)~> F là trg điểm của AI và AB=DI~> EF=1/2 IC và DC-AB=IC~> đpcm

EF sai cắt DC tại I ,EF//DC mà

mk có tội lỗi chi đâu mà phải chứng minh

Gọi M là trung điểm của cạnh AC .

Xét tam giác ABC ta có :

\(\hept{\begin{cases}NA=NC\left(gt\right)\\IB=IC\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}\)   NI là đường trung bình của tam giác ABC  

\(\Rightarrow NI=\frac{1}{2}AB\) ( tính chất đường trung bình)  (1)

Xét tam giác ACD ta có :

\(\hept{\begin{cases}NA=NC\left(gt\right)\\KA=KD\left(gt\right)\end{cases}\Rightarrow}KN\)là đường trung bình của tam giác ACD

\(\Rightarrow KN=\frac{1}{2}CD\) ( Tính chất đường TB )   (2)

Từ (1) và (2)

=> N ; I ; K thẳng hàng  ( tiên đề Ơ-cơ-lít)

Vì \(IK=NK-NI\)

\(\Rightarrow IK=\frac{CD-AB}{2}\)   (đpcm)

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD

Gọi I, K lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD, AC; F là trung điểm của BC.

* Trong ∆ ACB, ta có:

K là trung điểm của cạnh AC

F là trung điểm của cạnh BC

Nên KF là đường trung bình của  ∆ ACB

⇒ KF // AB và KF = 1/2 AB

(tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong  ∆ BDC, ta có: I là trung điểm của cạnh BD

F là trung điểm của cạnh BC

Nên IF là đường trung bình của  ∆ BDC

⇒ IF // CD và IF = 1/2 CD (tính chất đường trung bình của tam giác)

FK // AB mà AB // CD nên FK // CD

FI // CD (chứng minh trên)

Suy ra hai đường thẳng FI và FK trùng nhau.

⇒ I, K, F thẳng hàng, AB < CD ⇒ FK < FI nên K nằm giữa I và F

IF = IK + KF

⇒ IK = IF – KF = 1/2 CD - 1/2 AB = (CD - AB)/2