a) -Có: \(\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{1}{3}\) mà \(AE+EB=AB\) nên \(\dfrac{CF}{DC}=\dfrac{2}{3}\).

\(AB=DC\)(ABCD là hình thoi) \(\Rightarrow\dfrac{CF}{AB}=\dfrac{2}{3}\)

Mà \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{3}\) (gt) nên \(AE=CF\).

Mà EB//DF (ABCD là hình thoi) nên \(AECF\) là hình hình bình.

-Tương tự như vậy, EBFD là hình bình hành.

b) -Có: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{2}{3}\) mà \(AE+EB=AB\) nên \(\dfrac{EB}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\dfrac{EB}{AE}=\dfrac{1}{2}\).

-Có: \(\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{1}{3}\) mà \(\dfrac{EB}{DC}=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{EB}{AB}=\dfrac{1}{3};AB=CD\right)\)

\(\Rightarrow DF=EB\) nên \(\dfrac{DF}{AE}=\dfrac{1}{2}\).

-Xét △AEH có: DF//AE (ABCD là hình thoi).

\(\Rightarrow\dfrac{DF}{AE}=\dfrac{HD}{HA}=\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{1}{2}\) (định lí Ta-let).

c) -Có \(\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{1}{2}\) nên D là trung điểm AH.

\(\Rightarrow AD=DH=CD=\dfrac{1}{2}AH\)

-Xét △ACH có:

CD là trung tuyến ứng với cạnh AH (D là trung điểm AH)

Mà \(CD=\dfrac{1}{2}AH\) (cmt)

Nên △ACH vuông tại C.

\(\Rightarrow\) HC vuông góc với AC.

-Gọi G là giao điểm của CD và BH.

-Có \(DH=CD\) (cmt) và \(CD=BC\) (ABCD là hình thoi)

Nên \(DH=BC\) mà DH//BC (ABCD là hình thoi).

\(\Rightarrow\) BDHC là hình bình hành.

-Mà  G là giao điểm của CD và BH nên G là trung điểm CD và BH

\(\Rightarrow GD=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{2}.3DF=\dfrac{3}{2}DF\)

\(\Rightarrow DF=\dfrac{2}{3}GD\).

-Xét △HDB có: 

DG là trung tuyến (G là trung điểm BH).

F thuộc DG.

\(DF=\dfrac{2}{3}GD\) (cmt).

Nên F là trọng tâm của tam giác HDB.

Có tam giác BHCBHC ∼AFH∼AFH 
Vì AFBC=AEAB=AHBHAFBC=AEAB=AHBH 
và gHBC=FAHgHBC=FAH (c−g−c)(c−g−c)
⇒BHC=AHF⇒BHC=AHF mà AHF+BHF=90⇒BHF+BHC=90AHF+BHF=90⇒BHF+BHC=90=> FH VUÔNG GÓC HC
⇒⇒ đpcm.

Sai đề rồi bạn. Tính góc CHF chứ??

điên ghvfgfygbffrdgev

sai đề rồi nha

Hình: tự vẽ. Chỉ làm tắt thôi, không được chi tiết và đầy đủ đâu nhá.

S_PFGQ = 100 - (S_APQ + S_QDG + S_FGC + S_PBF)

 = 100 - [(AP.AH + 3AP) + (QD.AP + 2QD) + (AH.BE + 2AH) + HD.BE)

 = 100 - [(AP.AH + QD.AP + 3AP) + (2QD + 2AH) + (AH.BE + HD.BE)

 = 100 - (10AP + 14 + 10BE)

 = 100 - 80 - 14

 = 6

ket qua la 6

hình tự vẽ

*S_APQ=\(\frac{AP.AQ}{2}=\frac{\left(AE-EP\right)\left(AH+HQ\right)}{2}=\frac{\left(5-2\right).\left(5+3\right)}{2}=12\left(cm^2\right)\)

*S_PBF=\(\frac{PB.BF}{2}=\frac{\left(BE+EP\right).BF}{2}=\frac{\left(5+2\right).5}{2}=17,5\left(cm^2\right)\)

_{Tương tự vậy ta tính được:} S_FCG=12,5(cm²)

                                 S_QDG=5(cm²)

=>S_BFGQ =100-12-17,5-12,5-5=53 (cm²)

xét tam giác ADF vuông tại D

tam giác BAE vuông tại A

có AB = AD ( t/c Hvuông)

AE = DF ( GT)

=> \(\Delta ADF=\Delta BAE\) ( 2cgv)

=> \(\widehat{B_1}=\widehat{A_1}\) (2 góc t/ư)

b) có AB // CD (t/c Hvuông)

=> \(\widehat{A_2}=\widehat{AFD}\) (2 góc SLT)

tam giác ADF có \(\widehat{D}=90^0\)=>\(\widehat{A_1}+\widehat{AFD}=90^0\)

mà \(\widehat{B_1}=\widehat{A_1},\widehat{A_2}=\widehat{AFD}\) (cmt)

=>\(\widehat{A_2}+\widehat{B_1}=90^0\)

tam giác ABO có \(\widehat{A_2}+\widehat{B_1}+\widehat{AOB}=180^0\) (tổng 3 góc trong 1 tam giác)

=>\(\widehat{AOB}=180^0-90^0=90^0\)

=> AF vuông góc vs OB

hay AF vuông góc vs EB (1)

có MN là đường trung bình của tam giác EBF(vì M là trug điểm EF, N là trung điểm BF) => MN // EB (2)

từ (1) và (2) => MN vuông góc vs AF