dễ thấy tứ giác ADME là hình chữ nhật do có 3 góc vuông

nên chu vi ADME=2(AE+EM)

mà do ABC vuông cân nên góc ECM =45 độ nên MEC vuông cân tại E nên EM=EC

nên chu vi ADME=2(AE+EM)=2(AE+EC)=2AC là không đổi 

b.DE=AM nhỏ nhaasrt khi M là hình chiếu của A lên BC

a) Xét tam giác AHD và tam giác ABH có:

Góc A chung

\(\widehat{ADH}=\widehat{AHB}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AHD\sim\Delta ABH\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AD}{AH}\Rightarrow AH^2=AB.AD\)

b) Ta có tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Vậy thì \(\widehat{DHA}=\widehat{DEA}\) 

Lại có \(\widehat{DHA}=\widehat{CBA}\) nên \(\widehat{DEA}=\widehat{CBA}\)

Suy ra \(\Delta ADE\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\)

c) Gọi I là giao điểm của AO và DE.

Xét tam giác vuông ABC có AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OA = OC  hay \(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)

Lại có  \(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)  nên \(\widehat{OAC}+\widehat{DEA}=\widehat{OCA}+\widehat{ABC}=90^o\)

Suy ra \(\widehat{AIE}=90^o\) hay \(AO\perp DE\)

d) Ta có do \(AO\perp DE\) nên:

\(S_{ADOE}=\frac{1}{2}DE.OA=\frac{1}{2}AH.\frac{BC}{2}=\frac{1}{2}a.AH\)

Vậy thì \(S_{ADOE}\) lớn nhất khi AH lớn nhất.

Xét tam giác vuông ABC, ta có

 \(BC.AH=AB.AC\le\frac{AB^2+AC^2}{2}=\frac{BC^2}{2}=2a^2\)

\(\Rightarrow AH\le a\)

Vậy AH lớn nhất khi AH = a tức là tam giác ABC vuông cân tại A.

DMA = MAN = AND = 90⁰

=> AMDN là hình chữ nhật

=> AD = MN

I là trung điểm của MN và AD

=> HI là đường trung tuyến của tam giác HAD vuông tại H

=> HI = AD/2

mà AD = MN (chứng minh trên)

=> HI = MN/2

mà HI là đường trung tuyến của tam giác HMN (I là trung điểm của MN)

=> Tam giác HMN vuông tại H

=> MHN = 90⁰

Kẻ IK _I_ HD

mà AH _I_ HD

=> IK // AH

mà I là trung điểm của AD (chứng minh trên)

=> K là trung điểm của HD

=> IK là đường trung bình của tam giác DAH

=> IK = AH/2

Điểm I cách đoạn thẳng BC 1 khoảng cố định bằng 1 nửa AH không đổi

=> Điểm I di chuyển trên đường thẳng song song với BC và cách BC 1 khoảng bằng nửa AH

Chúc bạn học tốt *(^o^)*