xy = 1 => \(\left(x+y\right)^2\ge4xy=4.1=4\Rightarrow x+y\ge2\)

Ta CM BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)  ( dễ dàng cm đc bằng cách xét hiệu ) 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{2}{x+y}=\frac{6}{x+y}\)\(=\frac{6}{2}=3\)

dấu bằng của BĐT xảy ra khi x = y = 1

Lời giải bạn Thắng bị sai.

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}=\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{2}+\left(\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\right).\)

Theo bất đẳng thức Cô-Si   \(\frac{x+y}{2}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{2}=1,\)  và  \(\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\frac{x+y}{2}\cdot\frac{2}{x+y}}=2.\) Suy ra

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge1+2=3.\)

Đặt:  \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\)

Ta có: \(A=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}+\frac{2}{x+y}\left(\text{Do: xy = 1}\right)\)

                                                         \(=x+y+\frac{2}{x+y}\)

                                                         \(=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)

Đặt: \(B=\frac{x+y}{2};C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\)

\(\Rightarrow A=B+C\)

Vì x, y > 0, áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

\(\Rightarrow B=\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}=\sqrt{1}=1\) (1)

Ta có: x, y > 0 => x + y > 0

Áp dụng BĐT \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với hai số dương x + y và 2

\(\Rightarrow C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\) (2)

\(\text{Từ (1); (2) }\Rightarrow B+C=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge1+2\)

                      \(\Rightarrow A\ge3\)

                     \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge3\)

                      => ĐPCM

đây đâu phải toán lớp 1

cũng ko phải bài toán lớp 2

cái này toán lớp 5 r

Đặt : A = 1/x^2+xy + 1/y^2+xy

Có : A = 1/x.(x+y) + 1/y.(x+y) = 1/x + 1/y ( vì x+y = 1 )

Áp dụng bđt 1/a + 1/b >= 4/a+b với mọi a,b > 0 cho x,y > 0 thì :

A >= 4/x+y = 4/1 = 4

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2

=> ĐPCM

Tk mk nha

Áp dụng bđt : Với a>0 ; b>0 thì 1/b + 1/b >=4/(a+b) ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( vì 0 = < x + y <=1)

Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.

Bài 1:

a)

\(2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)

Do đó: \(2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

b)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)\)

\(=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài 2/Áp dụng BĐT Bunyakovski:

\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+3^2+5^2\right)\ge\left(x+3y+5z\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x+3y+5z\right)^2}{35}\) (*)

Ta có: \(x+3y+5z=x.1+\frac{y}{3}.9+\frac{z}{5}.25\)

\(=\frac{16z}{5}+8\left(\frac{y}{3}+\frac{z}{5}\right)+1\left(\frac{z}{5}+\frac{y}{3}+x\right)\)

\(\ge16+8.2+1.3=35\). Thay vào (*) là xong.

Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y =3; z = 5

No choice teen, Akai Haruma, Arakawa Whiter, Phạm Lan Hương, soyeon_Tiểubàng giải, tth, Nguyễn Văn Đạt

@Nguyễn Việt Lâm

giúp em với ạ! Cần gấp lắm! Thanks nhiều!

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

\(VT=\sum\frac{\sqrt{1+a^6+b^6}}{a^3b^3}\ge\sum\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{a^6b^6}}}{a^3b^3}=\sqrt{3}\left(\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}\right)\)

\(VT\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2.b^2c^2.c^2a^2}}=3\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)