Ta có \(Q=x^2+y^2+36-2xy-12x+12y+5y^2-10y+5+1976\)

               \(=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+1976\ge0\)

=>Q luôn nhận giá trị dương với mọi x,y (ĐPCM)

^_^

\(Q=x^2+6y^2-2xy-12x+2y+2017\)

\(Q=\left(x^2-2xy+y^2\right)-2\left(x-y\right)6+36+5y^2-10x+5+1976\)

\(Q=\left(x-y\right)^2-12\left(x-y\right)+64+5\left(y^2-2y+1\right)+1976\)

\(Q=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+1976\)

Mà, \(\left(x-y-6\right)^2,5\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow Q>0\)

\(Q=x^2+6y^2-2xy-12x+2y+2017\)

\(Q=\left(x^2-2xy+y^2\right)-12x+12y-10y+5y^2+2017\)

\(Q=\left(x-y\right)^2-2.6\left(x-y\right)+36+\left(5y^2-10y+5\right)+1976\)

\(Q=\left(x-y-6\right)^2+5\left(y-1\right)^2+1976\)

Vì\(\left(x-y-6\right)^2;5\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(Q>0\forall x;y\in R\)(đpcm)

= 4( x + 1/4)² +1 - 1/16 >0 với mọi x

\(4x^2+2x+1\)
\(=\left[\left(2x\right)^2+2.2x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1\)
\(=\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
\(Có:\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)\(\text{với mọi x}\)
\(\Rightarrow\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}>0\)\(\text{với mọi x}\)
 \(\text{Vậy 4x^2}+2x+1\)\(\text{luôn dương với mọi x}\)

9x²+6x+25= (3x)²+2.3x.1+1-1+25

= (3x+1)²+24

Vì (3x+1)² luôn > hoặc = 0

Nên (3x+1)²+24 luôn > hoặc =24

Vậy GTNN của 9x²+6x+25 bằng 24 khi (3x+1)²=0

                                                              <=> x= \(\frac{-1}{3}\)

^{Câu GTLN bạn làm tương tự câu tìm giá trị nhỏ nhất khác nhau một chút là tìm GTLN thì đặt dấu - ra ngoài}

-x²+2x-12 = - ( x² -2x+1+11)

                = -( x-1)²-11

Vì -(x-1)² luôn < hoặc = 0 => - ( x-1)²-11 <0

Vậy -x²+2x-12 luôn nhỏ hơn 0 với mọi x

Ta có A= 5n^3+15n^2+10n=5n^3+5n^2 +10n62+10n

=5n^29 (n+1)+10n (n+1) =(n+1).(5n^2+10n) 

5n (n+1).(n+2)

do n (n=1) (n+2)chia hết cho 6

suy ra Achia hết cho 30(n thuộc z)

a, -9x²+12x-17

=-(9x²-12x+17)

=-[(3x)²-2.3x.2+2²+13]

=-[(3x-2)²+13]

=-(3x-2)²-13

mà (3x-2)²\(\ge\)0 \(\forall\)x

=> -(3x-2)²\(\le\)0\(\forall\)x

=>-(3x-2)²-13<0\(\forall\)x

=> -9x²+12x-17<0\(\forall\)x

Vậy -9x²+12x-17 luôn nhận giá trị âm với mọi x

b,-11-(x-1)(x+2)

=-11-x²-x+2

=-x²-x-9

=-(x²+x+9)

=-[x²+2x.\(\dfrac{1}{2}\)+\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)+\(\dfrac{35}{4}\)]

=-[(x+\(\dfrac{1}{2}\))²+\(\dfrac{35}{4}\)]

=-(x+\(\dfrac{1}{2}\))²-\(\dfrac{35}{4}\)

mà (x+\(\dfrac{1}{2}\))²\(\ge\)0

=>-(x+\(\dfrac{1}{2}\))²\(\le0\)

=>-(x+\(\dfrac{1}{2}\))²-\(\dfrac{35}{4}\)<0

=>-11-(x-1)(x+2)<0\(\forall\)x

Vậy -11-(x-1)(x+2) luôn nhận giá trị âm với mọi x

Cho phương trình: x² - (2m - 1)x - m = 0       

Co \(\Delta=\left(-\left(2m-1\right)\right)^2-4.1.\left(-m\right)=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1>0\)

Vi \(\Delta>0\) nen PT luon co ngiem phan biet voi moi gia tri cua m

a) 4x² - 12x + 11=4x²-12x+9+2=(2x-3)²+2

vì (2x-3)²\(\ge\)0

nên (2x-3)²+2 dương với mọi x

=>4x² - 12x + 11luôn luôn dương với mọi x

b) x² - 2x + y² + 4y + 6

=x²-2x+1+y²+4y+4+1

=(x-1)²+(y+2)²+1

vì (x-1)²\(\ge\)0 ; (y+2)²\(\ge\)0

nên (x-1)²+(y+2)²+1 dương với mọi x;y

=>x² - 2x + y² + 4y + 6  luôn dương với mọi x;y

a/B=x²+2x+2013

a/ chứng minh x²+2x+2 luôn dương với mọi x

b/ chứng minh x²-2x+y²+4y+6 luôn dương với mọi x;y

c/ chứng minh -x²-8x-15 luôn âm với mọi x

d/ chứng minh 8-x²-y²-4x+10 luôn âm với mọi x;y