= 65025 nha

Ta có : a.(3a-1)=3a^2-a                                                                                                                                                                  Cho a lần lượt bằng 1;2;3;4;....;n ta được :                                                                                                                                      1.2=3.1^2-1                                                                                                                                                                                  2.5=3.2^2-2                                                                                                                                                                                   ................                                                                                                                                                                                  n.(3n-1)=3n^2-n                                                                                                                                                                         Cộng vế theo vế các đẳng thức ta được:  1.2+2.5+3.8+......+n.(3n-1)=3.(1^2+2^2+....+n^2)-(1+2+3+.....+n)                                                                                                                                       =3.[n.(n+1).(n+2)/6]-n.(n+1)/2                                                                                                                                                   = n^2.(n+1)

hoc cm quy nap chua Kq=n^2(n+1)

day la cach cm 

1.2 + 2.5 +...+ n(3n-1) = n^2(n+1) ̣́(*) 

n = 1=> 2 = 2 đúng. 
giả sử (*) đúng với n = k, ta có: 
1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1) = k^2(k+1) (1) 
ta cm (*) đúng với n = k + 1, thật vậy: 
(1) => 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = k^2(k+1) + (k + 1)[3(k + 1) - 1] 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)[k^2 + 3k +2) 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)(k^2 + k + 2k +2 ) 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)[k(k + 1) +2(k +1)] 
<=> 1.2 + 2.5 +...+ k(3k-1)+ (k + 1)[3(k + 1) - 1] = (k + 1)^2(k + 2) 
vậy (*) đúng với n = k +1 , theo nguyên lý qui nạp (*) đúng với mọi n

b)A=1+2+2^2+2^3+...+2^100

  2A=2+2^2+2^3+...+2^101

  2A-A=(2+2^2+2^3+...+2^101)-(1+2+2^2+2^3+...+2^100)

  A=2^101-1

e)(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)^2

  Số số hạng:[(10-1):1+1=10

  Tổng:[(10+1).10:2=55

  =>=55^2

(đề bài yêu cầu rút gọn đúng ko bn)

3S=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+...+99.100(101-98)

3S=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+...+99.100.101-98.99.100

3S=(1.2.3+2.3.4+...+99.100.101)-(0.1.2+1.2.3+...+98.99.100)

3S=99.100.101-0.1.2

3S=99.100.101

S=\(\frac{99.100.101}{3}=333300\)

S = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ...... + 99 . 100 

Gấp S lên 3 lần ,ta có: 

S . 3 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 + … + 99 . 100 . 3 

S . 3 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . ( 4 - 1 ) + 3 . 4 . ( 5 - 2 ) + … + 99 . 100 . ( 101 - 98 ) 

S . 3 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 - 1 . 2 . 3 + 3 . 4 . 5 - 2 . 3 . 4 + … + 99 . 100 . 101 - 98 . 99 . 100 

S . 3 = 99 . 100 . 101 

S = 99 . 100 .101 : 3 

S = 33 . 100 . 101 

S = 333300

Gọi A là biểu thức ta có: 
S = 1.2+2.3+3.4+......+98.99+99.100 
Gấp S lên 3 lần ta có: 
S . 3 = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3 
S . 3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.( 5 - 2) + … + 99.100. (101 - 98) 
S . 3 = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 98.99.100 
S . 3 = 99.100.101 
S = 99.100.101 : 3 
S = 33.100.101 
S = 333 300