Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

Vì \(a+b+c\ne0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)

\(\Rightarrow A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}\cdot\frac{b+c}{c}\cdot\frac{c+a}{a}=\frac{2a.2a.2a}{a.a.a}=\frac{8a^3}{a^3}=8\)

Bác phải đọc cái đề nữa chứ. Đâu phải thấy giông giống là giải y chan đâu. Có thể cái đề của bác lúc trước là x,y,z không âm nên mới giải vậy. Còn nếu x,y,z dương thì phải giải khác.

Ta có:

\(a+a^3+b+b^3+c+c^3\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Vậy nên không tồn tại giá trị a,b,c thỏa mãn bài toán.

vì a+b+c=1 nên\(a,b,c\le1\)

 tc \(a+b+c=a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3\)

nên \(a^3+b^3+c^3+a+b+c=2a^2+2b^2+2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^3-2a^2+a+b^3-2b^2+b+c^3-2c^2+c=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2+b\left(b-1\right)^2+c\left(c-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a-1\right)^2=0\\b\left(b-1\right)^2=0\\c\left(c-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=0;a=1\\b=0;b=1\\c=0;c=1\end{cases}}}\)

mà a+b+c=1 nên 1 trong 3 số = 1 và 2 số còn lại =0

thi a= 1 ; b=c=0 thì \(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=1^{2014}+0^{2014}+0^{2014}=1+0+0=1\)

th2 a=b=0 ; c=1 thì \(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=0^{2014}+0^{2014}+1^{2014}=1\)

th3 a=c=0 ; b=1 thì \(a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}=0^{2014}+1^{2014}+0^{2014}=0+1+0=1\)

thử bài bất :D 

Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)

Hoàn toàn tương tự: 

\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)

\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)

Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:

\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)

Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )

Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D 

\(a;b;c\ne0;a+b+c\ne0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Ta có: a³ + b³ + c³ = 3abc => a = b = c

Nên \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=2.2.2=2^3=8\)

Vậy A = 8

P/s: Không chắc lắm, mong các bạn góp ý. Cảm ơn

Bạn Hồ Khánh Châu là sai rồi !

nó có dương đâu mà cô-si ? nó chỉ mới khác 0 mà 

áp dụng BĐT bunhia... ta có 

\(\left(a+2b\right)^2=\left(1.a+\sqrt{2}\sqrt{2}b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)\le3.3c^2=9c^2\)

\(\Rightarrow a+2b\le3c\)

áp dụng cosi ta có 

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

áp dụng BDT trên ta có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+b+b}=\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\left(đpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)

Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)