\(a)\)

\(\frac{x^2+y^2+5}{2}\ge x+2y\)

\(\rightarrow\frac{x^2+y^2+5}{2}-x-2y\ge0\)

\(\rightarrow\frac{x^2+y^2-2x-4y+5}{2}\ge0\)

\(\rightarrow\frac{\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)}{2}\ge0\)

\(\rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}{2}\ge0\)

\(\rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(y-2\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\)

\(\rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2}{2}\ge0\)

b)

Áp dụng bất đẳng thức dạng 1/a + 1/b + 4 / a+b

-> 1/a+1 + 1/b+1 ≥ 4/a+b+1+1

Mà ta có: a+b=1

-> 1/a+1 + 1/b+1 ≥ 4/1+1+1 = 4/3

Giả thiết đề bài phải cho \(x^2+y^2+z^2\le3\) mới đúng.

Đặt \(m=x+y+z\)  thì \(m^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\le3+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                            \(\le3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3+3.2=9\)

\(\Rightarrow m^2\le9\Rightarrow-3\le m\le3\) (1) 

Lại có ; \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{m^2}{3}\le\frac{9}{3}=3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+y+z+xy+yz+zx\le6\) (đpcm)

a, Với mọi \(x;y\inℚ\)ta có :

\(x\le|x|\)và \(-x\le|x|;y\le|y|\)và \(-y\le|y|\)

\(\Rightarrow x+y\le|x|+|y|\)

    \(-x-y\le|x|+|y|\)

\(\Rightarrow x+y\ge-\left(|x|+|y|\right)\)

\(\Rightarrow-\left(|x|+|y|\right)\le x+y\le|x|+|y|\)

Vậy \(|x+y|\le|x|+|y|\)

Dấu "=" xảy ra khi xy \(\ge\) 0.
 

b,

Theo kết quả câu a, ta có :

\(|\left(x-y\right)+y|\le|x-y|+|y|\)

\(\Rightarrow|x|\le|x-y|+|y|\Rightarrow|x|-|y|\le|x-y|\)

Dấu "=" xảy ra khi xy \(\ge\) 0 và   \(|x|\ge|y|\)
 

a,với mọi x,ythuộc Q ta có:

x\(\le\)|x| và -x\(\le\)|x|; y\(\le\)|y| và -y \(\le\)|y|

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\\-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\end{cases}}\)

mà\(\orbr{\begin{cases}\left|x+y\right|=x+y\\\left|x+y\right|=-x-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

 x+y=2 
<=> x=2-y(1) 
giả sử x*y≤1 
<=>(2-y)y≤1 
<=>y^2 - 2y +1≥0 
<=> (y-1)^2≥0 
<=>y≥1(2) 
từ (1),(2)=> x*y≤1 
 

xy = 1 vì :

1 + 1 = 2

vậy xy là 1 nha      

ta có Áp dụng bđt cô si ta có 

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow4\ge4xy\Rightarrow1\ge xy\) (ĐPCM)

dấu = xảy ra <=> x=y=1