Tìm min :

Ta có : \(x^2+y^2-xy=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\) ( vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\) )
\(\Leftrightarrow\frac{A}{2}\le4\)

\(\Leftrightarrow A\le8\)

Tìm max

\(x^2+y^2-xy=4\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\)

\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=8+\left(x+y\right)^2\ge8\)

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{8}{3}\)

Há miệng ra và nói: ''PHỞ SÁNG"

Bên học24 mình đã xài \(\Delta\) vậy bên này mình sẽ xài HĐT kiểu Cosi như ý bn :))

Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{x^2+y^2}{2}\) ta có:

\(x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\)

\(\Rightarrow A\le4+\frac{A}{2}\Rightarrow A\le8\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\pm2\)

*)Nếu \(xy\ge0\Rightarrow A\ge4\)

*)Nếu \(xy< 0\). WLOG \(x>0;y< 0\). \(y\rightarrow-z\left(z>0\right)\)

Have \(\frac{A}{4}=\frac{x^2+y^2}{4}=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}\)

\(=1+\frac{xy}{x^2+y^2+xy}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x^2+z^2\ge2xz\\x^2+z^2+xz\ge3xz\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{xz}{x^2+z^2+zx}\le\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{A}{4}=1-\frac{zx}{x^2+z^2+xz}\ge1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow A\ge\frac{8}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=-\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=-\frac{2}{\sqrt{3}}\\y=\frac{2}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)