Giả sử 51 số đó đều âm và tích 4 số đó âm .

=> Mâu thuẫn với đề bài

=> Tồn tại ít nhất 1 số dương

Lấy số dương  đó ra , còn lại 50 số  , chia thành 12 nhóm.

có 4 số bất kì có tổng đều âm

Vậy   51 số đó đều dương.

a) Tổng của 4 số là 1 số dương nên chắc chắn trong 4 số đó có 1 số dương

Bớt số dương đó ra => còn lại 12 số . Chia 12 số đó thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 4 chữ số

=> Giá trị mỗi nhóm là số dương => Tổng 12 số đó dương

Cộng với số dương đã bớt ra => tổng của 13 số đã cho dương

Nhìn vào cái này thì thấy cái khác quay, hoa mắt quá !!!

b)  Tích của 3 số bất kì cũng là một số âm => chắc chắn có ít nhất 1 số âm 

=> Bớt số âm đó ra còn lại 12 số. Chia 12 số đó thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 3 số 

Giá trị mỗi nhóm âm => trong đó chắc chắn có 1 số âm và tích của 12 số bất kì là số dương

Có 4 nhóm =>  có 4 số âm nữa => Vậy Có 5 số âm

Còn lại 8 số : Chia thành 2 nhóm (mỗi nhóm 3 số) và 2 số còn lại

Mỗi nhóm ta bớt ra được 1 số âm => ta được 2 số âm nũa

Còn lại 6 số: Chia thành 2 nhóm => ta được 2 số âm nữa

Còn lại 4 số : chia thành một nhóm 3 số và 1 số  mà Tích của 4 số dương , tích của 3 số âm

=> Số còn lại âm. vậy ta bớt được 2 số âm từ 4 số còn lại

=> Còn lại 2 số có tích dương. Có 11 số âm lấy ra từ 13 số => tích của 11 số là âm

Mà tích của 12 bất kì dương => 2 số còn lại phải âm

=> ĐPCM

Lời giải:

Xét các số \(a_1,a_2,....,a_{51}\)

Ta có \(a_1a_2....a_{51}=(a_1a_2a_3)(a_4a_5....a_{51})>0\)

Vì cứ tích $4$ số bất kỳ đều dương nên tích của \(48\) số từ \(a_4\rightarrow a_{51}\) dương, do đó \(a_1a_2a_3>0\)

Mà theo đk đề bài thì \(a_1a_2a_3a_j>0 \) \((j=\overline{4;51})\) nên \(a_4,a_5,...,a_{51}>0\)

Khi đó \(a_4a_5a_6>0\) mà \(a_4a_5a_6a_1,a_4a_5a_6a_2,a_4a_5a_6a_1>0\) nên \(a_1,a_2,a_3>0\)

Ta có đpcm.

giả sử 2015 số đã cho là:

a₁ bé hơn hoặc bằng a₂bé hơn hoặc bằng.......bé hơn hoặc bằng a₂₀₁₄bé hơn hoặc bằng a₂₀₁₅

Vì tích 3 số bất kỳ luôn luôn dương 

nên trong dãy số có nhiều nhất 2 số âm

\(\vec{ }\)

a₁;a₂ <0

ta có: a_1.a_2014.a₂₀₁₅ <0

mà đề cho:a_1.a_2014.a₂₀₁₅>0

\(\vec{ }\)

a₁;a₂ không thể âm

Do vậy 2015 số đã cho phải là số dương

iả sử 2015 số đã cho là:

a₁ bé hơn hoặc bằng a₂bé hơn hoặc bằng.......bé hơn hoặc bằng a₂₀₁₄bé hơn hoặc bằng a₂₀₁₅

Vì tích 3 số bất kỳ luôn luôn dương 

nên trong dãy số có nhiều nhất 2 số âm

$\vec{ }$→

a₁;a₂ <0

ta có: a_1.a_2014.a₂₀₁₅ <0

mà đề cho:a_1.a_2014.a₂₀₁₅>0

$\vec{ }$→

a₁;a₂ không thể âm

Do vậy 2015 số đã cho phải là số dương

giả sử 2015 số đã cho là:

a₁ bé hơn hoặc bằng a₂bé hơn hoặc bằng.......bé hơn hoặc bằng a₂₀₁₄bé hơn hoặc bằng a₂₀₁₅

Vì tích 3 số bất kỳ luôn luôn dương 

nên trong dãy số có nhiều nhất 2 số âm

$\vec{ }$→

a₁;a₂ <0

ta có: a_1.a_2014.a₂₀₁₅ <0

mà đề cho:a_1.a_2014.a₂₀₁₅>0

$\vec{ }$→

a₁;a₂ không thể âm

Do vậy 2015 số đã cho phải là số dương