viết dạng hệ cho dẽ nhìn 
a^b = b^c (1) 
b^c = c^d (2) 
c^d = d^e (3) 
d^e = e^a(4) 
e^a=a^b(5) 
*********dùng pp phải chứng 
******************* 
giả sử có 5 số tự nhiên thỏa mãn trên 
không thay đổi ý nghia giả sử 
a>=b>=c>=d>e>=1 
*****hàm mũ lũy thừa cơ số 1 rất đặc biệt khử cái này trước******* 
nếu e=1 
=> a>=b>=c>=d>=2 (*) 
từ (5) => a=1 hoặc b=0 => không thỏa mãn (*)=> e<>1 
ok 
giờ có 
a>=b>=c>=d>e>=2 
từ(3) 
c^d = d^e (3) 
c>=d=> d<=e mâu thuẫn d>e 
các số a,b,c,d,e có thể hoán đổi vị trí cho nhau 
=>ít nhất có một phương trình không thỏa mãn 
=> dpcm

cái ồn

a^b = b^c = c^d = d^e = e^d

^{Ta có:} d^e = e^d

^{=> d và e bằng nhau.}

^{Lại có:} c^d = e^d

^{=> c và e bằng nhau}

^{=> c,d,e bằng nhau}

=> b^c = $bd$bd(Vì c =d)

Mà  b^c = c^d = d^e = e^d

^Nên b^d= c^d = d^e = e^d

^{=> b,c,d,e bằng nhau.}

^{Tiếp tục có:} a^b = b^c = c^d = d^e = e^d

bi roi nha

Bo may eo biet gi ca

Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn : a^b= b^c = c^d = d^e = e^a. Chứng minh rằng : a = b = c = d = e. 

Chứng minh bằng phản chứng, giả sử \(a>b>c>d>e\), thế lần lượt sẽ trái với giả thiết

Giả sử \(a\ne b\). Xét TH \(a< b\)thì 

\(b^c=a^b< b^b\Rightarrow b>c\)

\(c^d=b^c>c^c\Rightarrow c< d\)

\(d^e=c^d< d^d\Rightarrow e< d\)

\(e^a=d^e>e^e\Rightarrow a>e\)

\(e^a=a^b>e^b\Rightarrow a>b\)

Trái với điều \(a< b\)nên \(a=b\)

Từ đó, ta suy ra được \(a=b=c=d=e\)

Giả sử 2 số trong 5 số không bằng nhau . VD : a<b (1)

Vì vậy do a^b=b^c mà a<b => c<b

Ta có b^c=c^d mà c<b => c<d

Ta có c^d = d^e mà c<d => e<d

Ta có d^e = e^a mà e<d => a>e

Ta có e^a = a^b mà a>e => a>b (2)

Từ (1) và (2) => Giả sử trên là vô lí 

Vậy a=b=c=d ( đcpm )

Thma khảo:Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Sơn Lâm - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Không phải là vd a<b mà " không mất tính tổng quát giả sử a<b" :)

Giả sử 2 số trong 5 số không bằng nhau . VD : a<b (1)

Vì vậy do a^b=b^c mà a<b => c<b

Ta có b^c=c^d mà c<b => c<d

Ta có c^d = d^e mà c<d => e<d

Ta có d^e = e^a mà e<d =>. a>e

Ta có e^a = a^b mà a>e => a>b (2_)

Từ (1) và (2)

Vậy a=b=c=d

Chúc bạn học tốt

Giả sử 2 số trong 5 số không bằng nhau. VD a<b (1)

Trong 2 lũy thừa bằng nhau thì lũy thừa có cơ số nhỏ hơn sẽ có số mũ lớn hơn và ngược lại

Vì vậy do: a^b=b^c mà a<b => b>c

Ta có ${\mathrm{bc=cd}}^{}$ mà $c<b⟹c<d$

Ta có $c^d=d^e$mà $c<d⟹e<d$
Ta có $d^e=e^a$ mà $e<d⟹a>e$

Ta có $e^a=a^{}$^b mà $a>e⟹a>b$ (2)

Từ (1) và (2) => điều giả sử sai

Vậy $a=b=c=d=e$ (đpcm)