Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

Ta có:\(M=\left(\left|-x+1\right|+\left|x-3\right|\right)+\left|x-2\right|\ge\left|-x+1+x-3\right|+\left|x-2\right|=2+\left|x-2\right|\ge2\) với mọi x

Do đó M_Min=2

\(M=2\Leftrightarrow\int^{\left(-x+1\right).\left(x-3\right)\ge0}_{x=2}\Leftrightarrow\int^{1\le x\le3}_{x=2}\Leftrightarrow x=2\)

Vậy M_Min=2 tại x=2
 

GTNN của M  =6

- Ta có: \(\left|x+1\right|\ge0\forall x\)

\(\left|x+2\ge0\forall x\right|\)

......

\(\left|x-2017\ge0\forall x\right|\)

- Suy ra: \(\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+3\right|+.....+\left|x+2017\right|\ge0\forall x\)

=> \(\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+....+\left|x+2017\right|+100\ge100\forall x\)

- Dấu bằng xảy ra khi

\(\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+...+\left|x+2017\right|=0\)

- Suy ra : Giá trị nhỏ nhất của A ( Min_A) = 100

<=> \(\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+...+\left|x+2017\right|=0\).

Vì | x -3 | > hoặc = 0

Suy ra : |x-3|+50 >hoặc =50

Vì A nhỏ nhất suy ra | x-3 | +50 =50

Suy ra x-3 =0

Suy ra x=3

Vậy GTNN của A = 50 khi x=3

NHÂN CÁI ĐẦU VỚI CÁI CUỐI .2 CÁI GIỮA NHAN LAI LUON . RỒI ĐẶT PHẦN CHUNG LÀ t SAU ĐÓ BIẾN ĐỔI TIẾP NHÉ 

a)

Ta có : \(A=\left|x-2\right|+\left|x-5\right|=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|\ge\left|x-2+5-x\right|=3\)

\(\Rightarrow A\ge3\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\begin{cases}x-2\ge0\\5-x\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow2\le x\le5\)

Vậy MIN_A=3 khi \(2\le x\le5\)

b)

Ta có :

\(\begin{cases}\left|x-1\right|+\left|x-2016\right|\ge\left|x-1+2016-x\right|=2015\\\left|x-2\right|+\left|x-2015\right|\ge\left|x-2+2015-x\right|=2013\\...\\\left|x-1008\right|+\left|x-1009\right|\ge\left|x-1008+1009-x\right|=1\end{cases}\)

\(\Rightarrow B\ge1+3+....+2015\)=1016064

Dấu " = " xảy ra khi \(\begin{cases}\begin{cases}x-1\ge0\\2016-x\ge0\end{cases}\\....\\\begin{cases}x-1008\ge0\\1009-x\ge0\end{cases}\end{cases}\)\(\Rightarrow1008\le x\le1009\)

Vậy ...........

A = |x - 2| + |x - 5|

A = |x - 2| + |5 - x|

Áp dụng bđt \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\) \(\forall x;y\)ta có:

\(A=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|\ge\left(x-2\right)+\left(5-x\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x-2\ge0\\x-5\le0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x\ge2\\x\le5\end{cases}\)\(\Rightarrow2\le x\le5\)

Vậy GTNN của A là 3 khi \(2\le x\le5\)

B = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + ... + |x - 2016|

B = |x - 1| + |x - 2| + ... + |x - 1008| + |x - 1009| + |x - 1010| + ... + |x - 2016|

B = |x - 1| + |x - 2| + ... + |x - 1008| + |1009 - x| + |1010 - x| + ... + |2016 - x|

Áp dụng bđt \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)\(\forall x;y\) ta có:

\(B=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+...+\left|x-1008\right|+\left|1009-x\right|+\left|1010-x\right|+...+\left|2016-x\right|\)

\(\ge\left(x-1\right)+\left(x-2\right)+...+\left(x-1008\right)+\left(1009-x\right)+\left(1010-x\right)+...+\left(2016-x\right)\)

\(B\ge1008^2=1016064\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x-1\ge0\\1009-x\le0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\le1009\end{cases}\)\(\Rightarrow1\le x\le1009\)

Vây GTNN của B là 1016064 khi \(1\le x\le1009\)

A=3

B=2015

Với mọi x từ 1 đến 2016 đều tìm được giá trị min của biểu thức

=0+1+2+...+2015+2017

=2015x1008+2017

=2033137