Sửa đề: CMR: \(7.5^{2n}+12.6^n⋮19\)

Giải:

Đặt \(A\left(n\right)=\) \(7.5^{2n}+12.6^n.\) Với \(n=0\) ta có \(A\left(0\right)=19\) \(⋮19\)

Giả sử \(A\left(n\right)\) \(⋮19\) với \(n=k\) nghĩa là: \(A\left(k\right)=7.5^{2k}+12.6^k⋮19\)

Ta phải chứng minh \(A\left(n\right)⋮19\) với \(n=k+1\)

Ta có: \(A\left(k+1\right)=7.5^{2\left(k+1\right)}+12.6^{k+1}\)

\(=7.5^{2k}.5^2+12.6^n.6=7.5^{2k}.6+7.5^{2k}.19\) \(+\) \(12.6^n.6\)

\(=6.A\left(k\right)+7.5^{2k}.19⋮19\)

Vậy theo phương pháp quy nạp thì \(7.5^{2n}+12.6^n\) \(⋮19\) đúng với mọi số tự nhiên (Đpcm)

Cách này đỡ phức tạp :

VT=7(25^n-6^n)+19*6^n

Dễ thấy 25^n-6^n chia hết (25-16) = 19

Suy ra (đpcm).

[ Bn sửa lại đề bn nhé =)) ]

Ta có: 7.5^2n + 12.6^n = 7.25^n + 12.6^n = 7.25^n - 7.6^n + 19.6^n

= 7(25^n - 6^n) + 19.6^n = 7(25 - 6)[X] + 19.6^n

= 7.19.[X] + 19.6^n chia hết cho 19

Học tốt !Lương Nhất Chi

Đề bài sai.

Lấy ví dụ n=1 thì A không chia hết cho 19

a, 7 . 5²ⁿ + 12 . 6ⁿ 

= 7 . (5²)ⁿ - 7 . 6ⁿ + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25ⁿ - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25 - 6) . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

Vì 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) ⋮ 19 và 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> 7 . 5²ⁿ + 12 . 6ⁿ ⋮ 19

b, 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} 

= 121 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ - 12 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ + 12(144ⁿ - 11ⁿ) 

= 133 . 11ⁿ + 12 . (144 - 11) . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

= 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

Vì 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133 và 133 . 11ⁿ ⋮ 133

=> 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133

=> 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} ⋮ 133

          Bài làm :

a) 7 . 5²ⁿ + 12 . 6ⁿ 

= 7 . (5²)ⁿ - 7 . 6ⁿ + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25ⁿ - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . (25 - 6) . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

= 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ

Vì 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) ⋮ 19 và 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> 7 . 19 . (25^{n - 1} - 25^{n - 2} . 6 + .... - 6ⁿ) + 19 . 6ⁿ ⋮ 19

=> Điều phải chứng minh

b) 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} 

= 121 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ - 12 . 11ⁿ + 144ⁿ . 12

= 133 . 11ⁿ + 12(144ⁿ - 11ⁿ) 

= 133 . 11ⁿ + 12 . (144 - 11) . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

= 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ)

Vì 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133 và 133 . 11ⁿ ⋮ 133

=> 133 . 11ⁿ + 12 . 133 . (144^{n - 1} - 144^{n - 2} . 11 + .... - 11ⁿ) ⋮ 133

=> Điều phải chứng minh

Ta thấy :

Đào 1m : Trả 1 đồng

Đào 2m : Trả 1 x 2 = 2 đồng

Đào 3m : Trả 1 x 2 x 2 = 4 đồng

.......

Đào 10m : Trả 1 x 2 x 2 x ... x 2 = 512 đồng ﴾9 thừa số 2﴿

Vậy số tiền tên nhà giàu phải trả là :

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 ﴾đồng﴿

Đáp số : 1023 đồng 

Một tên nhà giàu keo kiệt thuê người đào giếng . Người thợ đòi tiền công 100 đồng , tên nhà giàu không bằng lòng vì chê đắt quá . Người thợ bèn nói : " Thế thì tính như sau : 1m đầu trả 1 đồng , 1m thứ hai trả 2 đồng , 1m thứ ba trả 4 đồng , 1m thứ tư trả 8 đồng ,..., cứ trả như thế cho đến khi xong việc " . Tên nhà giàu nghĩ là quá rẻ nên bằng lòng ngay . Hãy nghĩ xem tên nhà giàu phải trả bao nhiêu tiền công khi giếng đào sâu tới 10m ?

Ta thấy :

Đào 1 m : Trả 1 đồng

Đào 2 m : Trả 1 x 2 = 2 đồng

Đào 3 m : Trả 1 x 2  x 3 = 6 đồng

.....................................................

Đào 10 m : Trả 1 x 2 x 2 x ... x 2 = 512 đồng ( có 9 thừa số 2 )

Số tiền cần trả :

1  + 2  + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 đồng

bnag a,b,c luon

KNLNLKLFNK;KLNKALSKNK

\(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\)

\(=5^n.5^2+26.5^n+8^{2n}.8\)

\(=5^n.25+26.5^n+64^n.8\)

\(=5^n.25+34.5^n-8.5^n+64^n.8\)

\(=5^n\left(25+34\right)+8\left(64^n-5^n\right)\)

\(=5^n.59+8\left(64^n-5^n\right)\)

Áp dụng t/c: Nếu \(\left(a-b\right)⋮m\)thì \(\left(a^n-n^n\right)⋮m\)

\(\Rightarrow8\left(64^n-5^n\right)⋮59\)

Mà \(5^n.59⋮59\)nên \(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59\left(đpcm\right)\)