a, M=3+3²+...+3²⁰¹⁶=3(1+3+...+3²⁰¹⁵) chia hết cho 3 (1)

CÓ: M=3+3²+...+3²⁰¹⁶=3+3²(1+...+3²⁰¹⁴)=3+9(1+...+3²⁰¹⁴)

Vì 9(1+...+3²⁰¹⁴) chia hết cho 9, 3 không chia hết cho 9

=>M=3+9(1+...+3²⁰¹⁴) không chia hết cho 9 (2)

Từ (1) và (2) => M không phải là số chính phương

b, M=3+3²+...+3²⁰¹⁶

=(3+3²+3³+3⁴)+....+(3²⁰¹³+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶)

=3(1+3+3²+3³)+...+3²⁰¹³(1+3+3²+3³)

=3.40+...+3²⁰¹³.40

=40(3+...+3²⁰¹³) chia hết cho 40

=>M có chữ số tận cùng là 0

=>M không phải là số nguyên tố

c, Vì M chia hết cho 3 => 6M chia hết cho 3

Mà 9 chia hết cho 3 => 6M+9 chia hết cho 3 (3)

Ta có: M=3(1+3+...+3²⁰¹⁵)

=>6M=9.2(1+3+...+3²⁰¹⁵) 

=> 6M chia hết cho 9

Mà 9 chia hết cho 9

=> 6M+9 chia hết cho 9 (4)

Từ (3) và (4) => 6M+9 là số chính phương

d, Ta có: M=3+3²+...+3²⁰¹⁶

=>3M=3²+3³+...+3²⁰¹⁷

=>3M-M=(3²+3³+...+3²⁰¹⁷)-(3+3²+...+3²⁰¹⁶)

=>2M=3²⁰¹⁷-3

=>6M+9=3(3²⁰¹⁷-3)+9=3(3²⁰¹⁷-3+3)=3.3²⁰¹⁷=3²⁰¹⁸=3^x+5

=>x+5=2018

=>x=2013

a) Đặt A = 2018⁴ⁿ + 2019⁴ⁿ + 2020⁴ⁿ

= (2018⁴)ⁿ + (2019⁴)ⁿ + (2020⁴)ⁿ

= (....6)ⁿ + (....1)ⁿ + (....0)ⁿ

= (...6) + (...1) + (...0) = (....7) 

=> A không là số chính phương

b) Đặt 1995 + n = a² (1) 

2014 + n = b² (2)

a;b \(\inℤ\)

=> (2004 + n) - (1995 + n) = b² - a²

=> b² - a² = 9

=> b² - ab + ab - a² = 9

=> b(b - a) + a(b - a) = 9

=> (b + a)(b - a) = 9

Lập bảng xét các trường hợp

Từ a;b tìm được thay vào (1)(2) ta được 

n = -1979 ; n = -2014 ; 

A = 3 + 3² + 3³ +...+ 3²⁰¹⁵

A =  (3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵) +...+ (3²⁰¹¹ + 3²⁰¹² + 3²⁰¹³ + 3²⁰¹⁴ + 3²⁰¹⁵)

A = 3.( 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴) +...+ 3²⁰¹¹( 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ )

A = 3.211 +...+ 3²⁰¹¹.121

A = 121.( 3 +...+ 3²⁰²¹)

121 ⋮ 121 ⇒ A =  121 .( 3 +...+3²⁰²¹)  ⋮ 121 (đpcm)

b, A              = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +...+ 3²⁰¹⁵

   3A             =       3² + 3³ + 3⁴ +...+ 3²⁰¹⁵ + 3²⁰¹⁶

3A - A           =   3²⁰¹⁶ - 3

    2A            = 3²⁰¹⁶ - 3

      2A    + 3  = 3²⁰¹⁶ -  3 + 3

      2A    + 3 =  3²⁰¹⁶ = 27ⁿ

       27ⁿ = 3²⁰¹⁶

       (3³)ⁿ = 3²⁰¹⁶

        3³ⁿ = 3²⁰¹⁶ 

           3n =  2016

             n = 2016 : 3

             n = 672

c, A = 3 + 3² + ...+ 3²⁰¹⁵

    A = 3.( 1 + 3 +...+ 3²⁰¹⁴)

    3 ⋮ 3 ⇒ A = 3.(1 + 3 + 3² +...+ 3²⁰¹⁴) ⋮ 3

   Mặt khác ta có: A = 3 + 3² +...+ 3²⁰¹⁵ 

                             A =  3 + (3² +...+ 3²⁰¹⁵)

                             A = 3 + 3².( 1 +...+ 3²⁰¹⁵)

                             A = 3 + 9.(1 +...+ 3²⁰¹⁵)

                              9 ⋮ 9 ⇒ 9.(1 +...+ 3²⁰¹⁵) ⋮ 9 

                                            3 không chia hết cho 9 nên 

                                A không chia hết cho 9, mà A lại chia hết cho 3 

                        Vậy A không phải là số chính phương vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố thì sẽ chia hết cho bình phương số nguyên tố đó. nhưng A ⋮ 3 mà không chia hết cho 9

3/ Ta có: A=xxyy=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)

Đề A là scp thì 100x+y =11.t² (t thuộc Z) (1)

Ta có: 1=<x=<9 <=>100=<100x=<900(2)

                0=<y=<9 (3)

Từ (2) và (3)=> 100=<100x+y=<909 (4)

Từ (1) và (4)=> 100x+y thuộc {176;275;396;539;704;891}

Mà 100x+y là số có dạng x0y(có dấu gạch trên đầu)

Do đó, x0y=704=> x=7 và y= 4

Bài 2:

a/ gọi 3 số chính phương liên tiếp đó là: (x-1)²;x²;(x+1)²

Ta có: (x-1)²+x²+(x+1)²= x²-2x+1+x²+x²+2x+1= 3x²+2 

=> Tổng 3 số cp liên tiếp chia 3 dư 2

c/ Gọi 2 số lẻ đó là (2x-1)² và (2x+1)²

(2x-1)²+(2x+1)²= 4x²-4x+1 +4x²+4x+1

                       = 8x²+2=2(4x²+1)

Ta có: 2 chia hết cho 2

=> 2(4x²+1) là scp thì 4x²+1 chia hết cho 2

mà 4x²+1 là số lẻ nên không chia hết cho 2

Do đó. tồng bình phương của 2 số lẻ bất kì không phải là số chính phương

3/ Ta có: A=xxyy=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)

Đề A là scp thì 100x+y =11.t² (t thuộc Z) (1)

Ta có: 1=<x=<9 <=>100=<100x=<900(2)

                0=<y=<9 (3)

Từ (2) và (3)=> 100=<100x+y=<909 (4)

Từ (1) và (4)=> 100x+y thuộc {176;275;396;539;704;891}

Mà 100x+y là số có dạng x0y(có dấu gạch trên đầu)

Do đó, x0y=704=> x=7 và y=4

C=2+4+6+...+2n
   =(2n+2)+[(2n-2)+4]+[(2n-4)+6]+...+[(n+2)+n]
   =2(n+1)n/2
   =(n+1)n
vậy C không phải là số chính phương

ko tận cùng là 2;3;7;8
ko tận cùng là 1 vì 11 chia 4 dư 3
ko tận cùng là 5 vì chia 55 chia 4 dư 3
ko tận cùng là 6 vì 66 chia 4 dư 2
ko tận cùng là 9 vì 99 chia 4 dư 3
vậy số có dạng là a000,a444
với số có dạng là a000 thì a chỉ có thể là 1;3;4;6;7;9
với số có dạng là a444 thì a chỉ có thể là 1;3;4;6;7;9
thử đi, có 6TH thôi=))

2. a và b đồng dư 0;1 mod 4
nên a-b đồng dư 0;1;3 mod 4
mà 2014 đồng dư 2 mod 4
nên ko tồn tại a;b