guyrt8yfjgdfjvxkfjghdgfkg123456781548656

Giả sử x;y;z đều chẵn

\(\Rightarrow x=2a;y=2b;z=2c\Rightarrow xyz=8abc⋮4\)

Nếu x;y;z đều lẻ => (x-y); (y-z); (z-x) chẵn

\(\Rightarrow\left(x-y\right)=2a;\left(y-z\right)=2b;\left(z-x\right)=2c\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=8abc⋮4\)

Nếu trong 3 số x;y;z có ít nhất 1 số lẻ giả sử x lẻ  

=> xyz chẵn và \(xyz=2a\)

=> (y-z) chẵn và \(y-z=2b\)

\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\)

\(=2a.\left(x-y\right).2b.\left(z-x\right)=4ab\left(x-y\right)\left(z-x\right)⋮4\)

\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮4\forall x;y;z\)

Nếu 1 trong 3 số x; y; z chia hết cho 3

\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\)

Nếu không có số nào chia hết cho 3 ta có một số khi chia cho 3 dư 1 hoặc 2 => trong 3 số có 2 số đồng dư

=> 1 trong 3 số (x-y); (y-z); (z-x) có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\)

\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\forall x;y;z\)

Mà 3 và 4 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3.4=12\forall x;y;z\)

6   \(n^5+5n=n^5-n+6n=n\left(n^4-1\right)+6n=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)+6n\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)+6n\)

vì n,n-1 là 2 số nguyên lien tiếp  \(\Rightarrow n\left(n-1\right)⋮2\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮2\)

  n,n-1,n+1 là 3 sô nguyên liên tiếp \(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮2\cdot3=6\)

\(6⋮6\Rightarrow6n⋮6\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)-6n⋮6\Rightarrow n^5+5n⋮6\)(đpcm)

7   \(n\left(2n+7\right)\left(7n+1\right)=n\left(2n+7\right)\left(7n+7-6\right)=7n\left(n+1\right)\left(2n+7\right)-6n\left(2n+7\right)\)

\(=7n\left(n+1\right)\left(2n+4+3\right)-6n\left(2n+7\right)\)

\(=7n\left(n+1\right)\left(2n+4\right)+21n\left(n+1\right)-6n\left(2n+7\right)\)

\(=14n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+21n\left(n+1\right)-6n\left(2n+7\right)\)

n,n+1,n+2 là 3 sô nguyên liên tiếp dựa vào bài 6 \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\Rightarrow14n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

\(21⋮3;n\left(n+1\right)⋮2\Rightarrow21n\left(n+1\right)⋮3\cdot2=6\)

\(6⋮6\Rightarrow6n\left(2n+7\right)⋮6\)

\(\Rightarrow14n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+21n\left(n+1\right)-6n\left(2n+7\right)⋮6\)

\(\Rightarrow n\left(2n+7\right)\left(7n+1\right)⋮6\)(đpcm)

......................?

mik ko biết

mong bn thông cảm 

nha ................

Bài 1:

x⁵y-xy⁵=xy(x⁴-y⁴)=xy(x⁴-1+y⁴+1)

=xy(x⁴-1)-xy(y⁴-1)=xy(x²-1)(x²+1)-xy(y²-1)(y²+1)

=xy(x-1)(x+1)(x²+1)-xy(y-1)(y+1)(y²-1)

Mà:xy(x-1)(x+1)(x²+1) chia hết 2;3;5

=>xy(x-1)(x+1)(x²+1) chia hết cho 30

Cmtt:xy(y-1)(y+1)(y²+1) chia hết cho 30

Nên x⁵y-xy⁵ chia hết cho 30

Bài 2:

       x²+y²+z²=y(x+z)

<=>x²+y²+z²-yx-yz=0

<=>2x²+2y²+2z²-2yx-2yz=0

<=>(x – y)² + (y – z)² + x² + z² = 0

<=>x – y = y – z = x = z = 0

<=>x=y=z=0

https://phatman80.violet.vn/present/de-thi-hsg-toan8-lang-son-2011-2012-7891796.html

Ta có: \(mn\left(m^{30}-n^{30}\right)=mn\left[\left(m^{30}-1\right)-\left(n^{30}-1\right)\right]=nm\left(m^{30}-1\right)-mn\left(n^{30}-1\right)\)

Do đó, nếu ta chứng minh được với mọi số nguyên dương \(k\)thì \(k\left(k^{30}-1\right)⋮14322\)thì ta sẽ có đpcm. 

Ta có: \(14322=2.3.7.11.31\).

Xét \(p\in\left\{2,3,7,11,31\right\}\). Nếu \(k\)chia hết cho \(p\)thì hiển nhiên \(k\left(k^{30}-1\right)\)chia hết cho \(p\). Nếu \(k\)không chia hết cho \(p\)thì \(k\)nguyên tố với \(p\). Theo định lí Fermat nhỏ, ta có:  \(k^{p-1}-1⋮p\).

Mặt khác, với mọi \(p\in\left\{2,3,7,11,31\right\}\)ta có \(\left(p-1\right)|30\).

Từ đó suy ra: \(k^{30}-1⋮p\).

Do vậy \(k\left(k^{30}-1\right)⋮p\)với mọi \(p\in\left\{2,3,7,11,31\right\}\).

Vậy \(k\left(k^{30}-1\right)⋮14322\).

Từ đây ta có đpcm.