gọi UCLN(3n+1;4n+1) là d

=> 3n+1 chia hết cho d =>4(3n+1) chia hết cho d =>12n+4 chia hết cho d

=>4n+1 chia hết cho d =>3(4n+1) chia hết cho d =>12n+3 chia hết chi d

=>(12n+4)-(12n+3) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>UCLN(3n+1;4n+1)=1

=>... nguyên tố cùng nhau

gọi d là UC(3n+1;4n+1)

=> 3n+1 chia hết cho d=> 4(3n+1) chia hết cho d hay 12n+4 chia hết cho d

4n+1 chia hết cho d=>3(4n+1) chia hết cho d hay 12n+3 chia hết cho d

=>(12n+4)-(12n+3) chia hết  cho d hay 1 chia hết cho d

=> d=1

vậy 3n+1 và 4n+1 chia hết cho d

tick nha!!!!!!!

Gọi UCLN\(\left(3n+1,4n+1\right)=d\)
=) \(3n+1⋮d \)=) \(4\left(3n+1\right)⋮d\)=) \(12n+4⋮d\)
\(4n+1⋮d\)=) \(3\left(4n+1\right)⋮d\)=) \(12n+3⋮d\)
=) \(\left(12n+4\right)-\left(12n+3\right)⋮d\)
=) \(12n+4-12n-3⋮d\)
=) \(1⋮d\)=) \(d\inƯ\left(1\right)=1\)
=) UCLN\(\left(3n+1,4n+1\right)=1\)
Vậy \(3n+1,4n+1\)là 2 số nguyên tố cùng nhau ( ĐPCM )

Ta có : k là ƯCLN của 7n + 10 và 5n + 7 
Vậy : 7n + 10 chia hết cho k ; 5n + 7 chia hết cho k 
Hay 5(7n + 10 ) và 7(5n + 7 ) 
      35n + 50 và 35n + 49 chia hết cho k 
=> ĐPCM 
Hai bài kia bạn làm tương tư nhé , chúc may mắn 

Gọi  (3n + 1; 4n + 1) = d

Ta có:  3n + 1 \(⋮d\)

            4n + 1 \(⋮d\)

Xét hiệu:  4(3n + 1) - 3(4n + 1) \(⋮d\)

\(\Leftrightarrow\)12n + 4 - 12n - 3  \(⋮d\)

\(\Leftrightarrow\)1  \(⋮d\)   \(\Leftrightarrow\)d = 1

Vậy   3n + 1  và  4n + 1   là 2 số nguyên tố cùng nhau  \(\forall n\) \(\in N\)( \(\ne0\))

Gọi ƯCLN(3n + 1, 4n + 1) = d ( d thuộc N, d khác 0 )

=> 3n + 1 chia hết cho d; 4n + 1 chia hết cho d

=> (3n + 1) . 4 chia hết cho d; (4n+1) . 3 chia hết cho d

=> 12n + 4 chia hết cho d; 12n + 3 chia hết cho d

=>[ (12n + 4 ) - ( 12n + 3 ) ] chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=>d thuộc Ư(1)

=> d = 1

Vậy với mọi n thuộc N và n khác 0 thì 3n + 1; 4n + 1 nguyên tố cùng nhau

Gọi ƯCLN(3n+1;4n+1)=d

Suy ra : 3n+1 chia hết cho d =>4.(3n+1) chia hết cho d Hay 12n+4 chia hết cho d

             4n+1 chia hết cho d => 3.(4n+1) chia hết cho d Hay 12n+3 chia hết cho d 

Nên (12n+4)-(12n+3) chia hết cho d 

Hay  chia hết cho d =>d=1

 Vậy với mọi số tự nhiên n khác 0 thì số 3n+1 và số 4n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

NHỚ K CHO MÌNH NHA 

CHÚC BẠN HỌC GIỎI !

Gọi ƯCNL(3n+1 ; 4n+1) = d

Ta có : 3n + 1 chia hết cho d  =>  4(3n + 1) chia hết cho d

            4n + 1 chia hết cho d  =>  3(4n + 1) chia hết cho d

=> 4(3n + 1) - 3(4n + 1) chia hết cho d

=> (12n + 4) - (12n + 3) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 3n + 1 và 4n + 1 nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Gọi d là ƯCLN(3n+1;4n+1)

       3n+1 chia hết cho d             4(3n+1) chia hết cho d       12n+4 chia hết cho d(1)

=>{                                    =>{                                     =>

       4n+1 chia hết cho d            3(4n+1) chia hết cho d         12n+3 chia hết cho d(2)

Lấy (1)-(2) ta được : (12n+4) - (12n+3) chia hết cho d <=>1chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)=>d thuộc Ư(1) => d thuộc {+-1} vì d là ƯCLN=> d=1=> 3n+1 và 4n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Đặt ƯCLN(3n + 1;4n + 1) = d

Ta có:3n + 1 chia hết cho d 

4n + 1 chia hết cho d

=> 4(3n + 1 - 3(4n + 1) chia hết cho d

12n + 4 - 12n - 3 chia hết cho d

1 chia hết cho d => d \(\in\)Ư(1) = 1

Vậy: ƯCLN(3n + 1;4n + 1) = 1 hay 3n + 1 và 4n + 1 là 2 nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Gọi d là ƯCLN(3n + 1; 4n + 1) Nên ta có :

3n + 1 ⋮ d và 4n + 1 ⋮ d

=> 4(3n + 1) ⋮ d và 3(4n + 1) ⋮ d

=> 12n + 4 ⋮ d và 12n + 3 ⋮ d

=> (12n + 4) - (12n + 3) ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = ± 1

Vì ƯCLN(3n + 1; 4n + 1) = 1 nên 3n + 1 và 4n + 1 là nguyên tố cùng nhau ( đpcm )

Gọi \(d=\left(3n+1,4n+1\right)=>\hept{\begin{cases}3n+1⋮d\\4n+1⋮d\end{cases}}\)

\(=>\left(4n-1\right)-\left(3n-1\right)⋮d\)

\(=>4\left(3n-1\right)-3\left(4n-1\right)⋮d\)

\(=>\left(12n-4\right)-\left(12n-3⋮d\right)\)

\(=>1⋮d\)(đpcm)

Ta có:3n+1 chia hết cho d => 4(3n+1) chia hết cho d => 12n+4 d

4n+1 chia hết cho d => 3(3n+1) chia hết cho d => 12n+3 d

(12n+4 )- (12n+3) chia hết cho d

1 chia hết cho d

vậy 3n+1 và 4n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau