ta có BĐT \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)(chứng minh = AM-GM)

\(abc\ge\left(2-2a\right)\left(2-2b\right)\left(2-2c\right)=8\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)

\(abc\ge8\left[1-\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]\)

\(\Leftrightarrow9abc\ge-8+8\left(ab+bc+ca\right)\)

do đó \(VT\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)+8\left(ab+bc+ca\right)-8\)

\(VT\ge4\left(a+b+c\right)^2-8=16-8=8\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

a) Theo bất đẳng thức tam giác ta có :
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}\left(1\right)}\)

Ta có : \(a+b+c=2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2-a\\a+b=2-c\\a+c=2-b\end{cases}\left(2\right)}\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 2-a\\b< 2-b\\c< 2-c\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< 2\\2b< 2\\2c< 2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 1\\b< 1\\c< 1\end{cases}\left(đpcm\right)}\)

b )  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\le\left(\frac{2a}{2}\right)^2=a^2\)

Tường tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le b^2\\\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(abc\right)^2\ge\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow9abc\ge8\left(ab+bc+ca\right)-8\)

\(\Leftrightarrow9abc+4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge8\left(ab+bc+ca\right)\)

\(+4\left(a^2+b^2+c^2\right)-8\)

\(\Leftrightarrow9abc+4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\left(a+b+c\right)^2-8\)

\(\Leftrightarrow9abc+4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge8\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

a ) Theo bất đẳng thức tam giác ta có :

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}\left(1\right)}\)

Ta có : \(a+b+c=2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2-a\\a+b=2-c\\a+c=2-b\end{cases}\left(2\right)}\)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 2-a\\b< 2-b\\c< 2-c\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< 2\\2b< 2\\2c< 2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 1\\b< 1\\c< 1\end{cases}\left(đpcm\right)}\)

b ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)\le\left(\frac{2a}{2}\right)^2=a^2\)

Tương tự ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le b^2\\\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le c^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(abc\right)^2\ge\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\)

\(\Rightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(\Leftrightarrow9abc\ge8\left(ab+bc+ca\right)-8\)

\(\Leftrightarrow9abc+4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge8\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)-8\)

\(\Leftrightarrow9abc+4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\left(a+b+c\right)^2-8\)

\(\Leftrightarrow9abc+4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge8\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

sách nâng cao phát triển , tìm phần bđt ấy

vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tg

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b>c\\a+c>b\\b+c>a\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ac+bc>c^2\\ab+bc>b^2\\ab+ca>a^2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac+ab+bc+ac>a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)              (1)

có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\\\left(c-a\right)^2\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-2ab+b^2\ge0\\b^2-2bc+c^2\ge0\\c^2-2ac+a^2\ge0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow2ab+2bc+2ac\le2a^2+2b^2+2c^2\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)                     (2)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)

mih biet

k nha

roi mih giai cho

bài 1 hình tự vẽ

ABCD là hcn nên góc B=90

áp dụng pytago => BC=6cm

bài 2 hình lười vẽ => tự vẽ hình

tam giác ABC có d tđ AB, e tđ BC

=> DE là đtb

=> DE // và = 1/2 AC (1)

mà M là trung điểm AC => AM = 1/2 AC (2)

(1) và (2) => DE // và = AM

=> ĐPCM

câu b

có câu a mà để ADEM là hcn thì => góc A=90 độ

<=> tam giác ABC vuông tại A

câu c hình như sai, M di chuyển trên BC, M là tđ của BC rồi mà

bài 3

câu a cm tam giác oab cân O

=> oa=ob

cmtt => oa=oc

=> DPCM

câu b

tam giác oab cân o có ox là đường cao

=> góc aox = góc xob

cmtt => góc aoy= góc yoc

tổng 4 góc đó = góc boc

mà góc xoa + góc aoy =90

=> ...

=> góc boc = 180 độ

=> ĐPcm

bài 4

câu a

admn là hcn ( vì có 3 góc vuông)

câu b

cm dn là đtb

=> n là tđ Ac

có ..

=> adce là hbh

mà ac vuông góc de

=> adce là hình thoi

câu c :V, cm ở câu b rồi kìa

câu d, ko biết cách trình bày nhưng để diều đó xảy ra khi tam giác abc cân tại a

vì bài làm hơi dài nên tôi làm hình như hơi quá tắt thì phải, cái chỗ chám chấm ko hiểu thì nói tôi chỉ cho