x = -2 là nghiệm của phương trình: a x 2  + bx + c = 0, ta có:

4a - 2b + c = 0

x = 3 là nghiệm của phương trình: a x 2  + bx + c = 0 ta có:

9a + 3b + c = 0

Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:

thì phương trình a x 2  + bx + c = 0 có nghiệm  x 1  = -2;  x 2  = 3

Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình:

2 x 2  - 2x - 12 = 0

⇒  x 2 - x - 6 = 0

⇒ (x + 2)(x - 3) = 0

Có nghiệm:  x 1  = - 2; x 2  = 3

Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) phương trình có 2 nghiệm  \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le1\)

Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)

Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)

Câu c:

Giả sử pt: \(x^2+bx+c=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn đề bài.

Theo hệ thức Vi - ét ta có: \(x_1+x_2=-b\) và \(x_1x_2=c\)

Kết hợp với giải thiết ta có: \(x_1=x^2_2+x_2\) và \(b+c=4\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x^3_2-2x_2-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2-2\right)\left(x^2_2+2x_2+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_2=2\)(Vì: \(x^2_2+2x_2+2=\left(x_2+1\right)^2+1>0\))

Khi đó ta có: \(x_1=4+2=6\Rightarrow b=-8\)và \(c=12\)

Thử lại với \(b=-8;c=12\)ta được pt sau:

\(x^2-8x+12=0\)

\(\Leftrightarrow x_1=6;x_2=2\)(Thỏa mãn yêu cầu bài toán)

Vậy \(\left(b,c\right)=\left(-8;12\right)\) là cặp cần tìm.

a, \(\Delta=m^2-4\left(-4\right)=m^2+16\)> 0 

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

b, Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-4\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)

Thay vào ta được \(m^2-2\left(-4\right)=5\Leftrightarrow m^2+3=0\left(voli\right)\)

a)

\(m=6\)

\(\Rightarrow x^2+5x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=-3\end{matrix}\right.\)

b)

\(\left|x_1-x_2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow x_1^2=2x_1x_2+x^2_2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1-x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow25-4m=9\)

\(\Leftrightarrow4m=16\)

\(\Leftrightarrow m=4\)

Theo Vi et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}}\)

Theo giả thuyết thì:

\(x_1^2+x_2^2=2x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=0\)

\(\Leftrightarrow b^2-4ac=0\)

Vậy ta có ĐPCM

a, x = 3 , x= -1

b, m = 3 , m = 1

a, - Thay m = 6 vào phương trình ta được : \(x^2-5x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

b, - Xét phương trình trên có : \(\Delta=b^2-4ac=25-4m\)

- Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt <=> \(m< \dfrac{25}{4}\)

- Theo viet ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

- Ta có : \(\left|x_1-x_2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow x^2_1+x^2_2-2\left|x_1x_2\right|=\left(x_1+x_2\right)^2-2\left(x_1x_2+\left|x_1x_2\right|\right)=9\)

\(\Leftrightarrow m+\left|m\right|=8\)

\(\Leftrightarrow2m=8\)

\(\Leftrightarrow m=4\)

Vậy ...