xí câu 1:))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)

Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )

Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2

\(A\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}A\left(-3\right)=9a-3b+c\\A\left(1\right)=a+b+c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A\left(-3\right)-A\left(1\right)=9a-3b+c-a-b-c=8a-4b=4\left(2a-b\right)=0\)

\(\Rightarrow A\left(-3\right)=A\left(1\right)\Rightarrow A\left(-3\right).A\left(-1\right)=A\left(-1\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

những ai thích xem minecraft và blockman go thì hãy xem kênh youtube của mik kênh mik là M.ichibi các bn nhớ sud và chia sẻ cho nhiều người khác nhé

1) Đề sai, thử với x = -2 là thấy không thỏa mãn.

Giả sử cho rằng với đề là x không âm thì áp dụng BĐT Cauchy:

\(A=\)\(\frac{2x}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}=\frac{x-3}{3}+\frac{x-3}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}+2\)

\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x-3\right).\left(x-3\right).9}{3.3.\left(x-3\right)^2}}+2=3+2=5>1\)

Không thể xảy ra dấu đẳng thức.

3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề

xem lại đề

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

Do a, c là hai số đối nhau nên a + c = 0

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=a+b+c\\f\left(-1\right)=a-b+c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=b\\f\left(-1\right)=-b\end{matrix}\right.\) ( do a, c là 2 số đối nhau, a + c = 0 )

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-1\right)=b.\left(-b\right)=-b^2\)

Mà \(b^2\ge0\Rightarrow-b^2\le0\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(-1\right)\le0\) ( đpcm )

Vậy...

a, Với mọi x, ta có: /x/; /x + 1/; /x + 2/; /x + 3/ > 0 => 6x > 0

=> x > 0 (Vì nếu x < 0 thì 6x âm và bé hơn 0)  

b, Vì x > 0 => x + 1; x + 2; x + 3 > 0

=> /x/ = x

và /x + 1/ = x + 1

và /x + 2/ = x + 2

và /x + 3/ = x + 3

Ta có:

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 6x

=> 4x + 6 = 6x

=> 2x = 6

=> x = 3