tìm nghiệm dương của PT
\(\left(1+x-\sqrt{x^2-1}\right)^{2005}+\left(1+x+\sqrt{x^2-1}\right)^{2005}=2^{2006}\)
tìm nghiệm nguyên dương của phương trình ?
\(\left(1+x+\sqrt{x^2-1}\right)^{2005}+\left(1+x-\sqrt{x^2-1}\right)^{2005}=2^{2006}\)
\(x-\sqrt{x^2-1}=\frac{x^2-\left(x^2-1\right)}{x+\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}=t\)\(\Rightarrow x+\sqrt{x^2-1}=\frac{1}{t}\)
Ta có: \(\left(1+t\right)^{2015}+\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2015}=2^{2016}\)(1)
Áp dụng Côsi ta có:
\(1+t\ge2\sqrt{t}\Rightarrow\left(1+t\right)^{2015}\ge2^{2015}.\sqrt{t^{2015}}\)
\(1+\frac{1}{t}\ge\frac{2}{\sqrt{t}}\Rightarrow\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2015}\ge\frac{2^{2015}}{\sqrt{t^{2015}}}\)
\(\Rightarrow\left(1+t\right)^{2015}+\left(1+\frac{1}{t}\right)^{2015}\ge2^{2015}\left(\sqrt{t^{2015}}+\frac{1}{\sqrt{t^{2015}}}\right)\)
\(\ge2^{2015}.2\sqrt{\sqrt{t^{2015}}.\frac{1}{\sqrt{t^{2015}}}}=2^{2016}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 1.
Do đó, từ (1) => \(t=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}=1\Rightarrow x+\sqrt{x^2-1}=1\)
\(\Rightarrow1-x=\sqrt{x^2-1}\Rightarrow\left(1-x\right)^2=x^2-1\Leftrightarrow2-2x=0\Leftrightarrow x=1\)
Vậy: \(x=1\text{ là nghiệm (nguyên) duy nhất của phương trình.}\)
Cho: \(\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\right)\left(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}\right)=\sqrt{2005}\)
1) Chứng minh: \(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}=-\left(x-\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\right)\)
2) Tính S = x + y
Làm đầy đủ và chi tiết nhé mọi người
1) \(\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\right)\left(\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}-x\right)=\sqrt{2005}\)
Kết hợp với giả thiết ta được:
\(\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}-x=y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}\)
suy ra: đpcm
2) \(\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\right)\left(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}\right)=\sqrt{2005}\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(x+\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\right)\left(\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}-x\right)=\sqrt{2005}\\\left(y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}\right)\left(\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}-y\right)=\sqrt{2005}\end{cases}}\)
Kết hợp với giả thiết ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}-x=y+\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}\\\sqrt{y^2+\sqrt{2005}}-y=x+\sqrt{x^2+\sqrt{2005}}\end{cases}}\)
suy ra: \(x+y=-\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\)\(S=x+y=0\)
cho a,b,c ,x,y,z là các số dương thỏa \(x+y+x=a;x^2+y^2+z^2=b;a^2=b+4010\)
tính \(M=\sqrt[x]{\frac{\left(2005+y^2\right)\left(2005+z^2\right)}{2005+x^2}}+\sqrt[y]{\frac{\left(2005+x^2\right)\left(2005+z^2\right)}{2005+y^2}}\)
\(+\sqrt[z]{\frac{\left(2005+x^2\right)\left(2005+y^2\right)}{2005+z^2}}\)
giải giup mik vs
chp a,b,c,x,y,z là các số nguyên dương thỏa \(x+y+z=a\) ;\(x^2+y^2+z^2=b\);\(a^2=b+4010\)
tính \(M=\sqrt[x]{\frac{\left(2005+y^2\right)\left(2005+z^2\right)}{\left(2005+x^2\right)}}+\sqrt[y]{\frac{\left(2005+x^2\right)\left(2005+z^2\right)}{2005+y^2}}\)\(+\sqrt[z]{\frac{\left(2005+x^2\right)\left(2005+y^2\right)}{2005+z^2}}\)
\(a^2=b+4010\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+4010\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=x^2+y^2+z^2+4010\)
\(\Rightarrow2xy+2yz+2xz=4010\Rightarrow xy+yz+xz=2005\)
\(x\sqrt{\frac{\left(2015+y^2\right)\left(2005+z^2\right)}{\left(2005+x^2\right)}}=x\sqrt{\frac{\left(xz+yz+xy+y^2\right)\left(xy+xz+yz+z^2\right)}{\left(xy+yz+x^2+xz\right)}}\)
\(=x\sqrt{\frac{\left(z\left(x+y\right)+y\left(x+y\right)\right)\left(x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right)}{\left(y\left(x+z\right)+x\left(x+z\right)\right)}}=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)^2\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=x\left(y+z\right)=xy+xz\)
tương tự : \(y\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+y^2}}=xy+yz;z\sqrt{\frac{\left(2005+x^2\right)\left(2005+y^2\right)}{2015+z^2}}=xz+yz\)
\(\Rightarrow M=xy+xz+xy+yz+xz+yz=2\left(xy+yz+xz\right)=2\cdot2005=4010\)
1,Tìm m để pt có \(\sqrt{2x^2+mx}=3-x\)
a, 1 nghiệm
b, 2 nghiệm phân biệt
2,Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt \(\sqrt{x+2}+\sqrt{6-x}-\sqrt{\left(x+2\right)\left(6-x\right)}=m\)
Tìm x biết : \(2006\times\left|x-1\right|+\left(x-1\right)^2=2005\times\left|1-x\right|\)
2006 . | x - 1 | + ( x - 1 )2 = 2005 . | 1 - x |
\(\Rightarrow\)2006 . | x - 1 | + ( x - 1 )2 - 2005 . | 1 - x | = 0
Mà | x - 1 | = | 1 - x | = x - 1
Thay vào , ta được :
2006 . ( x - 1 ) + ( x - 1 )2 - 2005 . ( x - 1 ) = 0
( 2006 - 2005 ) . (x - 1 ) + ( x - 1 )2 = 0
( x - 1 ) + ( x - 1 )2 = 0
vì ( x - 1 )2 \(\ge\)0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\\left(x-1\right)^2=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=1\end{cases}\left(tm\right)}\)
Vậy x = 1
Cho C =\(\left(1+\frac{1}{x-1}\right).\frac{1}{x-\sqrt{x}}\)
a) rút gọn C
b) tìm X để:
C .\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}.\left(\sqrt{x}-1\right)^2=x-2005+\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
k) \(\sqrt{\left(X-2005\right)^2}+\sqrt{\left(X-2006\right)^2}=1\)l) \(\sqrt{X-3}+4\sqrt{3X+4}=x^2-6x+25\)Giúp mình với, ai biết câu nào làm câu nấy, là hết thì càng tốt ạ. Mình cảm ơn nhé !
cho \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\) Tính B biết B= \(x^{2005}+y^{2005}\)