Ta có: AM là trung tuyến của \(\Delta ABC\).

 - Nếu \(AM>\frac{1}{2}.BC\) \(\Rightarrow AM>BM=CM\).

   +) \(AM>BM\Rightarrow\widehat{B}>\widehat{BAM}\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{BAM}+x^o\)(1). Tương tự, ta có : \(\widehat{C}=\widehat{MAC}+y^o\)(2)

Lại có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)(tổng 3 góc trong 1 tam giác)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{A}+\left(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}\right)+x^o+y^o=180^o\)

\(\Rightarrow2.\widehat{A}+x^o+y^o=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\frac{180^o-x^o-y^o}{2}=90^o-\frac{x^o+y^o}{2}< 90^o\)

\(\Rightarrow AM>\frac{1}{2}BC\Leftrightarrow\widehat{BAC}< 90^o\)(đpcm).

P/S: Bạn tự vẽ hình nha ^_^!

Theo cách lớp 7 nha mấy thiên tài :D

hình e tự vẽ hộ cj 

giải:

Trên tia đối của tia MD lấy điểm E sao cho MD=ME

cm được : tam giác DMC = tam giác EMB (c-g-c)

=> DC=BE 

Xét tam giác nhọn ABE có điểm D nằm trong tam giác

=> DB<BE

mà BE = DC 

=> DB<DC

Đặt góc BCA = \(\alpha\) => Góc \(ACB=2\alpha\)

Áp dụng công thức : \(sin2\alpha=2sin\alpha.cos\alpha\)

Được : \(\frac{AH}{AM}=2.\frac{AB}{BC}.\frac{AC}{BC}=\frac{2AB.AC}{BC}\)

Sửa lại chút xíu  : Góc AMB =\(2\alpha\)

Tự vẽ hình nha :

ta có BM = CM ( gt) Mà góc BAC = 90

suy ra : 2AM = BC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) (1)

lại có : AB . AC = BC . AH ( hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) ( 2)

Nhân từng vế của (1) và (2) ta đc:

2AM . AB .AC = BC\(^2\). AH 

suy ra \(\frac{AH}{AM}=\frac{2AB.AC}{BC^2}\) (đpcm)

Chỉ là sơ qua thôi trình bày cẩn thận lại nha !