\(\Leftrightarrow z\left(3i+1\right)=\left(\left|z\right|-4\right)i+\left|z\right|+4\)

Lấy module 2 vế:

\(\Rightarrow\left|z\right|.\sqrt{10}=\sqrt{\left(\left|z\right|-4\right)^2+\left(\left|z\right|+4\right)^2}\)

Đặt \(\left|z\right|=x>0\Rightarrow x\sqrt{10}=\sqrt{\left(x-4\right)^2+\left(x+4\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow10x^2=2x^2+32\)

\(\Leftrightarrow x^2=4\)

\(\Rightarrow x=2\)

Vậy \(\left|z\right|=2\)

\(z=x+yi\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=x^2+y^2\)

\(\Rightarrow x+y+1=0\Rightarrow\) tập hợp z là đường thẳng d: \(x+y+1=0\)

\(P=\left|\left(z-4-5i\right)-\left(w-3-4i\right)\right|\ge\left|\left|z-4-5i\right|-\left|w-3-4i\right|\right|=\left|\left|z-4-5i\right|-1\right|\)

Gọi M là điểm biểu diễn z và \(A\left(4;5\right)\Rightarrow\left|z-4-5i\right|=AM\)

\(AM_{min}=d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|4+5+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=5\sqrt{2}\) 

\(\Rightarrow P\ge\left|5\sqrt{2}-1\right|=5\sqrt{2}-1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2i\right)z-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\right)=\left(3-i\right)z\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2i\right)z-\left(3-i\right)z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\)

\(\Leftrightarrow\left(-2-i\right)z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\)

\(\Rightarrow z=\dfrac{1-3i}{2\left(-2-i\right)}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{10}i\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{1}{10};\dfrac{7}{10}\right)\) \(\Rightarrow\) tọa độ trung điểm I là \(\left(\dfrac{1}{20};\dfrac{7}{20}\right)\)

Mọi điểm M biểu diễn z đều phải thỏa mãn 2 điều kiện: vừa thuộc đường tròn (C) vừa thuộc đường thẳng \(\Delta\)  (tham số P)

Do đó, M là giao điểm của (C) và \(\Delta\)

Hay tham số P  phải thỏa mãn sao cho (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung

Hay hệ pt nói trên có nghiệm (thật ra chi tiết đó là thừa, chỉ cần biện luận (C) và \(\Delta\) có ít nhất 1 điểm chung \(\Rightarrow d\left(I;\Delta\right)\le R\) là đủ)

ta có : \(\overline{Z}=\left(\sqrt{2}+i\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)\)

\(\Leftrightarrow\overline{Z}=\left(1+2\sqrt{2}i\right)\left(1-\sqrt{2}i\right)=5-\left(\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)i\)

\(\Rightarrow Z=5+\left(\sqrt{2}-2\sqrt{2}\right)i\)

\(\Rightarrow\) phần ảo của số phức \(Z\) là \(\sqrt{2}-2\sqrt{2}\)

Lời giải:

Trên mp tọa độ \(Oxy\) ta xét các điểm \(A(-2,1);B(4,7);C(1,-1)\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là $M$

Theo bài ra ta có:

\(|z-(-2+i)|+|z-(4+7i)|=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=6\sqrt{2}\)

Mà \(AB=\sqrt{(-2-4)^2+(1-7)^2}=6\sqrt{2}\Rightarrow MA+MB=AB\)

Do đó điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng $AB$

Đề bài yêu cầu tìm max min của \(|z-(1-i)|\), tức là tìm max, min của đoạn \(MC\)

Dựa vào hình vẽ, suy ra \(MC_{\min}=d(C,AB)\).

Do biết tọa độ $A,B$ nên dễ dàng viết được PTĐT $AB$ là : \(y=x+3\)

\(\Rightarrow MC_{\min}=d(C,AB)=\frac{|1-(-1)+3|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

Vì \(M\) chỉ chạy trên đoạn $AB$ nên \(MC_{\max}=CA\) hoặc $CB$

Thấy \(CA< CB\Rightarrow CM_{\max}=CB=\sqrt{(4-1)^2+(7+1)^2}=\sqrt{73}\) khi \(M\equiv B\)

Vậy \(\left\{\begin{matrix} |z-1+i|_{\min}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ |z-i+1|=\sqrt{73}\end{matrix}\right.\)