\(M=4x\left(x+y+z\right)\left(x^2+xz+yx+yz\right)+\left(yz\right)^2\)

\(M=4\left(x^2+xy+zx\right)\left(x^2+yz+zx+xy\right)+\left(yz\right)^2\)

\(M=4\left(x^2+xy+zx\right)\left\{\left(x^2+yz+zx\right)+xy\right\}+\left(yz^2\right)\)

\(M=4\left(x^2+xy+zx\right)^2+4\left(x^2+yz+zx\right)\left(yz\right)+\left(yz\right)^2\) ( hằng đẳng thức )

\(M=\left\{2\left(x^2+xy+zx\right)\right\}^2+2.2\left(x^2+xy+zx\right)\left(yz\right)+\left(yz\right)^2\)

\(M=\left(2\left(x^2+xy+zx\right)+\left(yz\right)\right)^2\)

\(M=\left(2x^2+2xy+zx+yz\right)^2\)

\(M=4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=2x\left(x+y+z\right)2\left(x+y\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=\left(2x^2+2xy+2xz\right)\left(2x^2+2xy+2xz+2yz\right)+y^2z^2\)

Đặt \(2x^2+2xy+2xz+yz=a\)

\(M=\left(a-yz\right)\left(a+yz\right)+y^2z^2\)

\(=a^2-y^2z^2+y^2z^2\)

\(=a^2\)

Mà \(x;y;z\in N\Rightarrow a\in N\)

=> M là số chính phương

\(M=4\left(x^2+xy+xz\right)\left(x^2+xy+yz+zx\right)+y^2z^2\)

Đặt \(a=x^2+xy+xz\)

\(M=4a\left(a+yz\right)+y^2z^2=4a^2+4ayz+y^2z^2=\left(2a+yz\right)^2\)

Vậy \(M=\left(2x^2+2xy+2xz+yz\right)^2\)là số chính phương

Bạn tính toán cuối cùng nó ra M=(yz+2xz+2xy+2x²)²

x;y;z là các số tự nhiên => M là số chính phương

Cảm ơn

​

​

B= 4(x² + xy + xz)(x² + xy + xz + yz) + y²z²

đặt x² + xy + xz = m , ta có

B = 4m(m + yz) + y²z² = 4m² + 4myz + y²z²

B = (2m + yz)² = (2x² + 2xy + 2xz + yx)²

x,y,z la cac so nguyen thif B la 1 so chinh phuong

\(C=4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=4x\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)+y^2z^2\)

\(=4\left(x^2+xy+xz\right)\left(x^2+xy+xz+yz\right)+y^2z^2\left(1\right)\)

Đặt \(a=x^2+xy+xz\)và \(b=yz\)ta có:

\(\left(1\right)\Rightarrow C=4a\left(a+b\right)+b^2=b^2+4ab+4a^2=\left(b+2a\right)^2\)

Vậy C là một số chính phương.

Đặt \(A=\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}\)

\(=\frac{\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)^2}{\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2}\)

Xét B=(y-z)²(z-x)²+(x-y)²(z-x)²+(x-y)²(y-z)²

Đặt a=(y-z)(z-x), b=(x-y)(z-x), c=(x-y)(y-z)

Ta có:B=a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)

=(a+b+c)²-2((x-y)(y-z)(z-x)(z-x + x-y + y-z)

=(a+b+c)²-0=(a+b+c)²

⁼[(y-z)(z-x)+(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z)]²

\(\Rightarrow A=\frac{\text{[x-y)(z-x)+(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z)]^2}}{\text{[(x-y)(y-z)(z-x)]^2}}\)

=> A là bình phương 1 số hữu tỉ

\(M=4x\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+z\right)+y^2z^2=4\left(x^2+xy+xz\right)\left(x^2+xy+xz+yz\right)+y^2z^2\)

Đặt \(x^2+xy+xz=a\) , ta có:

\(M=4a\left(a+yz\right)+y^2z^2=4a^2+4ayz+y^2z^2=\left(2a+yz\right)^2\)

\(M=\left(2x^2+2xy+2xz+yz\right)^2\)là số chính phương với \(x;y;z\in N\)

x/(x+y+z)>x/(x+y+z+t)

tương tự cho 3 cái còn lại

=>M>x/(x+y+z+t)+y/(x+y+z+t)+z/(x+y+z+t)+t/(x+y+z+t)

=>m>(x+y+z+t)/(x+y+z+t)

=>M>1

x/(x+y+z)<1=>(x+t)/(x+y+t+z)>x/(x+y+z)

tương tự => M<2(x+y+z+t)/(x+y+z+t)

=> M<2

ta có 2>M>1=> m ko phải là số tự nhiên

tại sao x/(x+y+z)<1 thì bạn có thể suy ra (x+t)/(x+y+t+z)>x/(x+y+z)

mình thấy (x+t)/(x+y+z+t)cũng lớn hơn 1 cơ mà ( thấy vô lý kiểu gì ý)

1<M<2