Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính :
a) \(\int\limits^3_0\dfrac{x^2}{\left(1+x\right)^{\dfrac{3}{2}}}dx\) (đặt \(u=x+1\))
b) \(\int\limits^1_0\sqrt{1-x^2}dx\) (đặt \(x=\sin t\))
c) \(\int\limits^1_0\dfrac{e^x\left(1+x\right)}{1+xe^x}dx\) (đặt \(u=1+xe^x\))
d) \(\int\limits^{\dfrac{a}{2}}_0\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx\) (\(a>0\)) (đặt \(x=a\sin t\))
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số :
a) \(\int x^2\sqrt[3]{1+x^3}dx\) với \(x>-1\) (đặt \(t=1+x^3\))
b) \(\int xe^{-x^2}dx\) (đặt \(t=x^2\))
c) \(\int\dfrac{x}{\left(1+x^2\right)^2}dx\) (đặt \(t=1+x^2\))
d) \(\int\dfrac{1}{\left(1-x\right)\sqrt{x}}dx\) (đặt \(t=\sqrt{x}\))
e) \(\int\sin\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x^2}dx\) (đặt \(t=\dfrac{1}{x}\))
g) \(\int\dfrac{\left(\ln x\right)^2}{x}dx\) (đặt \(t=\ln x\))
h) \(\int\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^2x}}dx\) (đặt \(t=\cos x\) )
i) \(\int\cos x\sin^3xdx\) (đặt \(t=\sin x\))
k) \(\int\dfrac{1}{e^x-e^{-x}}dx\) (đặt \(t=e^x\) )
l) \(\int\dfrac{\cos x+\sin x}{\sqrt{\sin x-\cos x}}dx\) (đặt \(t=\sin x-\cos x\))
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{24}}_0\tan\left(\dfrac{\pi}{3}-4x\right)dx\) (đặt \(u=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-4x\right)\)
b) \(\int\limits^{\dfrac{3}{5}}_{\dfrac{\sqrt{3}}{5}}\dfrac{dx}{9+25x^2}\) (đặt \(x=\dfrac{3}{5}\tan t\))
c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^3x\cos^4xdx\) (đặt \(u=\cos x\))
d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{-\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt{1+\tan x}}{\cos^2x}dx\) (đặt \(u=\sqrt{1+\tan x}\))
Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính :
a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(x+1\right)\sin x.dx\)
b) \(\int\limits^e_1x^2lnxdx\)
c) \(\int\limits^1_0ln\left(1+x\right)dx\)
d) \(\int\limits^1_0\left(x^2-2x-1\right)e^{-x}dx\)
Tính các nguyên hàm sau :
a) \(\int\left(2x-3\right)\sqrt{x-3}dx\), đặt \(u=\sqrt{x-3}\)
b) \(\int\dfrac{x}{\left(1+x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}dx\) , đặt \(u=\sqrt{x^2+1}\)
c) \(\int\dfrac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx\), đặt \(u=e^{2x}+1\)
d) \(\int\dfrac{1}{\sin x-\sin a}dx\)
e) \(\int\sqrt{x}\sin\sqrt{x}dx,\) đặt \(t=\sqrt{x}\)
g) \(\int x\ln\dfrac{x}{1+x}dx\)
a)
Đặt \(u=\sqrt{x-3}\Rightarrow x=u^2+3\)
\(I_1=\int (2x-3)\sqrt{x-3}dx=\int (2u^2+3)ud(u^2+3)=2\int (2u^2+3)u^2du\)
\(\Leftrightarrow I_1=4\int u^4du+6\int u^2du=\frac{4u^5}{5}+2u^3+c\)
b)
\(I_2=\int \frac{xdx}{\sqrt{(x^2+1)^3}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{(x^2+1)^2}}\)
Đặt \(u=\sqrt{x^2+1}\). Khi đó:
\(I_2=\frac{1}{2}\int \frac{d(u^2)}{u^3}=\int \frac{udu}{u^3}=\int \frac{du}{u^2}=\frac{-1}{u}+c\)
c)
\(I_3=\int \frac{e^xdx}{e^x+e^{-x}}=\int \frac{e^{2x}dx}{e^{2x}+1}=\frac{1}{2}\int\frac{d(e^{2x}+1)}{e^{2x}+1}\)
\(\Leftrightarrow I_3=\frac{1}{3}\ln |e^{2x}+1|+c=\frac{1}{2}\ln|u|+c\)
d)
\(I_4=\int \frac{dx}{\sin x-\sin a}=\int \frac{dx}{2\cos \left ( \frac{x+a}{2} \right )\sin \left ( \frac{x-a}{2} \right )}\)
\(\Leftrightarrow I_4=\frac{1}{\cos a}\int \frac{\cos \left ( \frac{x+a}{2}-\frac{x-a}{2} \right )dx}{2\cos \left ( \frac{x+a}{2} \right )\sin \left ( \frac{x-a}{2} \right )}=\frac{1}{\cos a}\int \frac{\cos \left ( \frac{x-a}{2} \right )dx}{2\sin \left ( \frac{x-a}{2} \right )}+\frac{1}{\cos a}\int \frac{\sin \left ( \frac{x+a}{2} \right )dx}{2\cos \left ( \frac{x+a}{2} \right )}\)
\(\Leftrightarrow I_4=\frac{1}{\cos a}\left ( \ln |\sin \frac{x-a}{2}|-\ln |\cos \frac{x+a}{2}| \right )+c\)
e)
Đặt \(t=\sqrt{x}\Rightarrow x=t^2\)
\(I_5=\int t\sin td(t^2)=2\int t^2\sin tdt\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=t^2\\ dv=\sin tdt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2tdt\\ v=-\cos t\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_5=-2t^2\cos t+4\int t\cos tdt\)
Tiếp tục nguyên hàm từng phần \(\Rightarrow \int t\cos tdt=t\sin t+\cos t+c\)
\(\Rightarrow I_5=-2t^2\cos t+4t\sin t+4\cos t+c\)
g)
Có \(I_6=\int x\ln \left ( \frac{x}{x+1} \right )dx=\int x\ln xdx-\int x\ln (x+1)dx\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=\frac{x^2}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x\ln xdx=\frac{x^2\ln x}{2}-\int \frac{xdx}{2}\)
\(\Leftrightarrow \int x\ln xdx=\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}+c\)
Tương tự, \(\int x\ln (x+1)dx=\frac{x^2\ln (x+1)}{2}-\int \frac{x^2}{2(x+1)}dx\)
\(=\frac{x^2\ln (x+1)}{2}-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}-\frac{\ln (x+1)}{2}+c\)
Suy ra \(I_5=\frac{x^2}{2}\ln \frac{x}{x+1}+\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{x}{2}+c\)
Tính :
a) \(\int\limits^2_{-1}\left(5x^2-x+e^{0,5x}\right)dx\)
b) \(\int\limits^2_{0,5}\left(2\sqrt{x}+\dfrac{3}{x^2}+\cos x\right)dx\)
c) \(\int\limits^2_1\dfrac{dx}{\sqrt{2x+3}}\) (đặt \(t=\sqrt{2x+3}\) )
d) \(\int\limits^2_1\sqrt[3]{3x^3+4}x^2dx\) (đặt \(t=\sqrt[3]{3x^3+4}\) )
e) \(\int\limits^2_{-2}\left(x-2\right)\left|x\right|dx\)
g) \(\int\limits^0_1x\cos xdx\)
h) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{1+\sin2x+\cos2x}{\sin x+\cos x}dx\)
i) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0e^x\sin xdx\)
k) \(\int\limits^e_1x^2\ln^2xdx\)
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính :
a) \(\int x\ln\left(1+x\right)dx\)
b) \(\int\left(x^2+2x-1\right)e^xdx\)
c) \(\int x\sin\left(2x+1\right)dx\)
d) \(\int\left(1-x\right)\cos xdx\)
a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:
Đặt u= ln(1+x)
dv= xdx
=> ,
Ta có: ∫xln(1+x)dx =
=
b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:
Đặt u= (x2+2x -1) và dv=exdx
Suy ra du = (2x+2)dx, v = ex
. Khi đó:
∫(x2+2x - 1)exdx = (x2+2x - 1)exdx - ∫(2x+2)exdx
Đặt : u=2x+2; dv=exdx
=> du = 2dx ;v=ex
Khi đó:∫(2x+2)exdx = (2x+2)ex - 2∫exdx = ex(2x+2) – 2ex+C
Vậy
∫(x2+2x+1)exdx = ex(x2-1) + C
Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x2-1)exdx. Đặt u = x2-1 và dv=exdx.
Đáp số : ex(x2-1) + C
c) Đáp số:
HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx
d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.
HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx
Tính :
a) \(\int\left(2-x\right)\sin xdx\)
b) \(\int\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{x}}dx\)
c) \(\int\dfrac{3^{3x}+1}{e^x+1}dx\)
d) \(\int\dfrac{1}{\left(\sin x+\cos x\right)^2}dx\)
e) \(\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\)
g) \(\int\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(2-x\right)}dx\)
Tính các nguyên hàm sau :
a) \(\int x\left(3-x\right)^5dx\)
b) \(\int\left(2^x-3^x\right)^2dx\)
c) \(\int x\sqrt{2-5x}dx\)
d) \(\int\dfrac{\ln\left(\cos x\right)}{\cos^2x}dx\)
e) \(\int\dfrac{x}{\sin^2x}dx\)
\(\int\dfrac{x+1}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}dx\)
h) \(\int\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}dx\)
i) \(\int\sin3x\cos2xdx\)
k) \(\int\dfrac{\sin^3x}{\cos^2x}dx\)
l) \(\int\dfrac{\sin x\cos x}{\sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}}dx\) (\(a^2\ne b^2\))
