Lấy H là trung điểm của BC, I là trung điểm của AB, G là trung điểm của EF
O là giao của EH và IC

trong tam giác ABC có IE là đường trung bình nênIE//BC=> IECH là hình bình hành->
EO=OH,IO=OC

trong tam giác ACI có DE là đường trung bình-> DE//IC -> OC//EF
Do OC//EF và EO=OH EG=GF=> OC đi qua trung điểm của HF => C là TĐ HF

=> CF=1/2BC (đpcm)

ok

a)Xét tam giác ABD và tam giác AED

AB=AE(Gt)

BAD=DAE(vì AD là tia p/giác)

AD là cạnh chung)

\(\Rightarrow\) tam giác ABD=tam giác AED(c.g.c)

b)Xét tam giác ADF và tam giác ADC

AF+AC(Gt)

BAD=DAE(vì AD là tia p/giác)

AD là cạnh chung

\(\Rightarrow\)tam giác ADF=tam giác ADC(c.g.c)

\(\Rightarrow\)DF=DC(cặp cạnh tương ứng)

c)Xét tam giác AMF và tam giác AMC

AF+AC(Gt)

BAD=DAE(vì AD là tia p/giác)

AD là cạnh chung

\(\Rightarrow\)tam giác AMF=tam giác AMC(c.g.c)

\(\Rightarrow\)AMF=AMC(cặp góc tương ứng)
Mà AMF+AMC=180⁰(kề bù)

\(\Rightarrow\)AMF=AMC=180⁰:2=90⁰

Do đó Am vuông góc với CF

a)XÉT ▲ABD VÀ ▲AED CÓ:

AD CHUNG

AB=AE(GT)

GÓC BAD= GÓC EAD (AD LÀ PHÂN GIÁC)

=> ▲ABD= ▲AED(C-G-C)

B)XÉT ▲ADF VÀ ▲ADC CÓ

AD CHUNG

AF= AC(GT)

GÓC BAD= GÓC EAD(AD PHÂN GIÁC)

=> ▲ADF= ▲ADC(C-G-C)

=>DF=DC

BẠN TỰ VẼ HÌNH NHÉ

Lấy K trung điểm AB. Nối K với E, K với C. Như vậy D trung điểm AK

Ta có do KEKE là đường trung bình tam giác ABCABC nên KE//BCKE//BC và KE=12BCKE=12BC.

Lại có DEDE là đường trung bình tam giác AKCAKC nên DE//KCDE//KC.

Xét tam giác KEC và tam giác FCEcó
+ chung CE
+ ˆKEC=ˆFCE^ (so le trong do KE//BC)
+ ˆADE=ˆACK(đồng vị) mà ˆADE=ˆCEFnên ˆCEF=ˆACK

Như vậy △KEC=△FCE (g.c.g) nên CF=EK
Mà EK=1/2BCnên CF=1/2B
Ta có đpcm

a) Ta có : AB = AC 

=> ∆ABC cân tại A 

=> ABC = ACB 

AB = AC 

Mà AF = AE 

=> FB = EC 

Xét ∆FCB và ∆EBC ta có : 

ABC = ACB (cmt)

FB = EC (cmt)

BC chung 

=> ∆FCB = ∆EBC (c.g.c)

=> BE = CF (dpcm)

b) Vì ∆FBC = ∆EBC (cmt)

=> BFO = CEO ( 2 góc tg ứng )

Xét ∆BFO và ∆CEO ta có :

FB = EC (cmt)

BFO = CEO (cmt)

FOB = EOC ( đối đỉnh) 

=> ∆BFO = ∆CEO (g.c.g)

=> BO = OC

=> ∆BOC cân tại O

c) Gọi H là giao điểm của AO và BC 

G là giao điểm của FE và AO

Ta có : AF = AE (gt)

=> ∆AFE cân tại A 

Xét ∆FAG và ∆EAG ta có : 

AF = AE 

AFG = AEG ( ∆AFE cân tại A)

AG chung 

=> ∆FAG = ∆EAG (c.g.c)

=> FAG = EAG ( 2 góc tương ứng) 

=> AG là phân giác của BAC 

Mà H nằm trên tia đối AO

=> AH là phân giác ∆ABC 

=> AH vuông góc với BC (trong ∆ cân có phân giác đồng thời là trung trực ∆ ABC )

góc DEF= 45 độ

Goc DEF=90^o

Lời giải: Gọi ssooj dài AB = c , AC = b, AE = BF = x thì AF = (b -x) .Vì EF//BC nên ta có :   \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\) Tức là \(\frac{x}{c}=\frac{b-x}{b}\)Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có :    \(\frac{x}{c}=\frac{b-x}{b}=\frac{x+\left(b-x\right)}{c+b}=\frac{b}{b+c}\) Tức là \(\frac{x}{c}=\frac{b}{b+c}\) Suy ra cách xác định điểm E như sau (Xem hình vẽ ở trên) : 

         - Kéo dài AC về phía C, lấy điểm D sao cho CD = AB = c

          -  Nối  BD. Kẻ qua C đường thẳng (d) song song với BD, giao điểm của đường thẳng (d) với cạnh AB chính là điểm E 

          - Kẻ qua E đường thẳng \(\left(\Delta\right)\)giao điểm của \(\left(\Delta\right)\)với cạnh AC chính là ddirrt, F.

CHÚC CÁC ANH CHỊ CHĂM CHỈ HỌC, HỌC GIỎI