Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a.c}{b.d}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a.c}{b.d}=\frac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(đpcm\right)\)

Ta đặt: a/b = a/d =k

  => a = b.k, c=d.k

 Ta có: a² + a.c/c² - a.c=b² + b.d/d² - b.d

 Vế trái:  => (b.k)² + (b.k)(d.k)/(d.k)² - (b.k)(d.k)

  => b².k² + k(b.d)/d².k² - k.(b.d)

 Ta lược bỏ các chữ giống nhau, ta được:

  => b²/d²

 Vế phải: b² +b.d/d² - b.d

 Ta cũng lược bỏ những chữa giống nhau ta được:

  => b²/d² 

Vậy a2 +a.c/c2 + a.c = b2 + b.d/d2 - b.d

thầy ơi bài này làm rồi

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)

Vậy:

\(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{bk\cdot dk}{b\cdot d}=\frac{k^2\cdot\left[b\cdot d\right]}{b\cdot d}=k^2\)

và

\(\frac{2009a^2+2010c^2}{2009b^2+2010d^2}=\frac{2009\left[bk\right]^2+2010\left[dk\right]^2}{2009b^2+2010d^2}=\frac{2009\cdot b^2k^2+201d^2k^2}{2009b^2+2010d^2}=\frac{k^2\left[2009b^2+2010d^2\right]}{2009b^2+2010d^2}=k^2\)Vậy khi \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{2009a^2+2010c^2}{2009b^2+2010d^2}\)

Ta có:\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{2009a^2}{2009b^2}=\frac{2010c^2}{2010d^2}=\frac{2009a^2+2010c^2}{2009b^2+2010d^2}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)

Vậy \(\frac{ac}{bd}=\frac{2009a^2+2010c^2}{2009b^2+2010d^2}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{c}{d}\right)^2\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

Đặt: a/b = c/d = k   ( k \(\inℤ\))

=> \(\hept{\begin{cases}a=b.k\\c=d.k\end{cases}}\)

Ta có: \(\frac{a.c}{b.d}=\frac{b.k.d.k}{b.d}=k^2\)          (1)

Ta có: \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\)             (2)

Từ (1)và (2) \(\frac{a.c}{b.d}\)=  \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)  ( =k² )

Vậy: \(\frac{a.c}{b.d}\)= \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

+ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)

+ \(\frac{a}{c}=\frac{3a}{3c}=\frac{b}{d}=\frac{3a+b}{3c+d}\) \(\Rightarrow\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)

+ \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a\cdot b}{c\cdot d}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\Rightarrow\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

câu cuối lm tương tự

Ta có:

b² = a.c \(\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{a}{b}\)

c² = b.d \(\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{b}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\left(đpcm\right)\)