\(A=2.2^2+3.2^3+...+n.2^n\)

\(2A=2.2^3+3.2^4+4.2^5+...+n.2^{n+1}\)

\(2A-A=\left(2.2^3+3.2^4+...+n.2^{n+1}\right)-\left(2.2^2+3.2^3+...+n.2^n\right)\)

\(A=-2.2^2-2^3-2^4-...-2^n+n.2^{n+1}\)

\(A=-2^2-\left(2^2+2^3+2^4+...+2^n\right)+n.2^{n+1}\)

\(A=-2^2-\left(2^{n+1}-2^2\right)+n.2^{n+1}\)

\(A=\left(n-1\right)2^{n+1}=\left(2n-2\right).2^n\)

Từ đây phương trình ban đầu tương đương với: 

\(\left(2n-2\right).2^n=2^{n+34}\)

\(\Leftrightarrow\left(2n-2\right).2^n=2^n.2^{34}\)

\(\Leftrightarrow n-1=2^{33}\)

\(\Leftrightarrow n=2^{33}+1\)

Đặt A = 2.2 2 + 3.2 3 + 4.2 4 + . . . + m .2 m Ta có: A = 2.2 2 + 3.2 3 + 4.2 4 + . . . + m .2 m ⇒ 2 A = 2 ( 2.2 2 + 3.2 3 + 4.2 4 + . . . + n .2 n ) ⇒ 2 A = 2.2 3 + 3.2 4 + 4.2 5 + . . . + m .2 m + 1 ⇒ 2 A − A = 2.2 2 + ( 3.2 3 − 2.2 3 ) + . . . + ( m − m + 1 ) .2 m − m .2 m + 1 ⇒ A = 2.2 2 + 2 3 + 2 4 + . . . + 2 n − n .2 n + 1 ⇒ A = 2 2 + ( 2 2 + 2 3 + . . . + 2 m + 1 ) − ( m + 1 ) .2 m + 1 ⇒ A = − 2 2 − ( 2 2 + 2 3 + . . . + 2 m + 1 ) + ( m + 1 ) .2 m + 1 Đặt B = 2 2 + 2 3 + . . . + 2 m + 1 ⇒ 2 B = 2 3 + 2 4 + . . . + 2 m + 2 ⇒ 2 B − B = 2 m + 2 − 2 2 ⇒ B = 2 m + 2 − 2 2 ⇒ A = 2 2 − 2 m + 2 + 2 2 + ( m + 1 ) .2 m + 1 ⇒ A = ( m + 1 ) .2 m + 1 − 2 m + 2 ⇒ A = 2 m + 1 ( m + 1 − 2 ) ⇒ A = ( m − 1 ) .2 m + 1 = 2 ( m − 1 ) .2 n Mà A = 2 ( m − 1 ) .2 m = 2 m + 10 ⇒ 2 ( m + 1 ) = 2 10 ⇒ m − 1 = 2 9 ⇒ m − 1 = 512 ⇒ m = 513 Vậy m = 513

Tham khảo : Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.2^2 +3.2^3 +4.2^4+ ...+n.2^n = 2^n+11 - My Hien

Tham khảo : Tìm số tự nhiên n thoả mãn - My Hien