=1!(2-1)+2!(3-1)+3!(4-1)+4!(5-1)+5!(6-1)

=2!-1!+3!-2!+4!-3!+5!-4!+6!-5!

=6!-1!

=720-1

=719

CM $\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{n-1}{n!} = \frac{n-1}{n!}$ với $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $n\geq 2$

Bạn tham khảo lời giải tại link sau:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-a122389910so-sanh-a-voi1voi-n123ntich-cua-n-so-tu-nhien-khac-0-dau-tien.3965156752

Áp dụng kết quả trên:

$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+...+\frac{2013}{2014!}=\frac{2014!-1}{2014!}<1$

$\Rightarrow \frac{2}{3!}+...+\frac{2013}{2014!}< 1-\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}$ 

Ta có đpcm.

Ta có :

A = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 + ... + 1.2.3.4. ... . n

A = 1! + 2! + 3! + 4! + ... + n!

Ta thấy từ 5! trở lên đều có tận cùng là 0(vì chứa thừa số 2 và 5)  nên tổng của chúng cũng tận cùng là 0.

\(\Rightarrow\)A = 1 + 2 + 6 + 24 + (......0) 

A = (......3) + (.....0)

A = (......3)

Mà số chính phương không có tận cùng là : 2 ; 3 ; 7 ; 8 nên n \(\in\varnothing\)

Ta có:

\(A=1+1.2+1.2.3+...+1.2.3.....n\)

     \(=1!+2!+3!+4!+...+n!\)

Ta thấy bắt đầu từ 5! trở lên luôn có tận cùng là 0 vì nó chứa 2 thừa số 5 và 2.

Ta lại có:

\(A=1+2+6+24+\left(..0\right)+...+\left(...0\right)\)

     \(=33+\left(...0\right)\)

     \(=\left(...3\right)\)

Mà số chính phương có tận cùng là 0;1;5;6;9 nên A không là số chính phương.