Mình đã làm bài này bằng cách tìm a rồi thế vào M, mong bạn nào có cách giải hay hơn, gọn hơn xin giúp mình. Cảm ơn các bạn!!!

\(A=4+4^2+4^3+...+4^{2013}\)

\(A=4+4\left(4+4^2+4^3+...+4^{2016}\right)\)

\(A=4+4\left(A-4^{2013}\right)\Rightarrow A=4+4A-4^{2014}\)

\(3A=4^{2014}-4\)

\(\Rightarrow3A+4=4^{2014}\left(đpcm\right)\)

1.

a) ( a+1)(a+2)(a^2+4)(a-1)(a^2+1)(a-2)

= [(a+1)(a-1)][(a-2)(a+2)](a^2+1)(a^2+4)

=[(a^2+1)(a^2-1)][(a^2+4)(a^2-4)]

=(a^4-1)(a^4-16)

b)(3a+1)^2 + (2-3a)(2+3a)

= 9a² + 6a +1 + 4 - 9a²

= 6a+5

2.

Ta có a³ +b³ = ( a + b)(a² -ab + b²) = a² + 2ab +b² -3ab = (a+b)² -3ab = 1-3ab ( dpcm)

1.

a) (a + 1)(a + 2)(a² + 4)(a - 1)(a² + 1)(a - 2)

= [(a + 1)(a - 1)][(a + 2)(a - 2)](a² + 4)(a² + 1)

= (a² - 1)(a² - 4)(a² + 4)(a² + 1)

= [(a² - 1)(a² + 1)][(a² - 4)(a² + 4)]

= (a⁴ - 1)(a⁴ - 16)

= a⁸ - 16a⁴ - a⁴ + 16

= a⁸ - 17a⁴ + 16

b) (3a + 1)² + (2 - 3a)(2 + 3a)

= 9a² + 6a + 1 + 2² - 9a²

= (9a² - 9a²) + 6a + (1 + 4)

= 6a + 5

2.

a + b = 1

(a + b)³ = 1³

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1

a³ + b³ + 3ab(a + b) = 1

a³ + b³ = 1 - 3ab(a + b)

Mà a + b = 1

=> a³ + b³ = 1 - 3ab

Vậy với a + b = 1 thì a³ + b³ = 1 - 3ab

Để chứng minh rằng √(a-b) và √(3a+3b+1) là các số chính phương, ta sẽ điều chỉnh phương trình ban đầu để tìm mối liên hệ giữa các biểu thức này. Phương trình ban đầu: 2^(2+a) = 3^(2+b) Ta có thể viết lại phương trình theo dạng: (2^2)^((1/2)+a/2) = (3^2)^((1/2)+b/2) Simplifying the exponents, we get: 4^(1/2)*4^(a/2) = 9^(1/2)*9^(b/2) Taking square roots of both sides, we have: √4*√(4^a) = √9*√(9^b) Simplifying further, we obtain: 22*(√(4^a)) = 32*(√(9^b)) Since (√x)^y is equal to x^(y/), we can rewrite the equation as follows: 22*(4^a)/ = 32*(9^b)/ Now let's examine the expressions inside the square roots: √(a-b) can be written as (√((22*(4^a))/ - (32*(9^b))/)) Similarly, √(3*a + 3*b + ) can be written as (√((22*(4^a))/ + (32*(9^b))/)) We can see that both expressions are in the form of a difference and sum of two squares. Therefore, it follows that both √(a-b) and √(3*a + 3*b + ) are perfect squares.

Đáp án là: 33053608165989345 đó

Xin thông Báo: nó khó quá!

\(A=4+4^2+4^3+...+4^{2013}\)

=>  \(4A=4^2+4^3+4^4+...+4^{2014}\)

=>  \(4A-A=\left(4^2+4^3+4^4+...+4^{2014}\right)-\left(4+4^2+4^3+...+4^{2013}\right)\)

=>  \(3A=4^{2014}-4\)

=>  \(3A+4=4^{2014}=\left(4^{1007}\right)^2\)

=>  đpcm

2.\(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)

1a)\(\left(3a+1\right)^2+\left(2-3a\right)\left(2+3a\right)=9a^2+6a+1+4-9a^2\)

.......................................................\(=6a+5\)