Ta có: m < n ⇒ 4m < 4n ⇒ 4m + 1 < 4n + 1 (1)

1 < 5 ⇒ 4n + 1 < 4n + 5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 4m + 1 < 4n + 5

a. Ta có: m<n

<=> 2m<2n (nhân cả hai vế với 2)

<=> 2m+1<2n+1 (cộng cả hai vế với 1) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

b. Ta có: m<n

<=> m-2<n-2 (cộng cả hai vế với -2)

<=> 4(m-2)<4(n-2) (nhân cả hai vế với 4) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

c. Ta có: m<n

<=> -6m>-6n (nhân cả hai vế với -6)

<=> 3-6m>3-6n (cộng cả hai vế với 3) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

d. Ta có: m<n

<=> 4m<4n (nhân cả hai vế với 4)

<=> 4m+1<4n+1 (cộng cả hai vế với 1)

mà 4n+1<4n+5

=> 4m+1<4n+5 \(\xrightarrow[]{}đpcm\)

a, Ta có: \(m< n\Leftrightarrow4m< 4n\) (nhân cả hai vế với 4)

\(\Leftrightarrow4m+1< 4n+1\) (cộng cả hai vế với 1)

mà 1<5 \(\Leftrightarrow4n+1< 4n+5\)

\(\Rightarrow4m+1< 4n+5\)

b. Ta có: \(m< n\Leftrightarrow-5m>-5n\) (nhân cả hai vế với -5)

\(\Leftrightarrow3-5m>3-5n\) (cộng cả hai vế với 3)

mà 1<3 \(\Leftrightarrow1-5n< 3-5n\)

\(\Rightarrow3-5m>1-5n\)

a) -8m + 2
 Vì m>n mà số nguyên âm nào có trị tuyệt đối lớn hơn thì bé hơn nên suy ra ta có:

-8m + 2 < - 8n + 2

b) 6n - 1 với 6m + 2

6n - 1 < 6m + 2

Ta có: 2⁴ⁿ⁺¹ + 3^4m+1

= 2⁴ⁿ.2 + 3^4m.3

= (2⁴)ⁿ.2 + (3⁴)^m.3

= (...6)ⁿ.2 + (...1)^m.3

= (...6).2 + (...1).3

= (...2) + (...3)

= ...5

Vì ...5⋮5 nên 2⁴ⁿ⁺¹+3^4m+1⋮5

Vậy 2⁴ⁿ⁺¹+3^4m+1⋮5 

Ta có: 2⁴ⁿ⁺¹ + 3^4m+1

= 2⁴ⁿ.2 + 3^4m.3

= (2⁴)ⁿ.2 + (3⁴)^m.3

= (...6)ⁿ.2 + (...1)^m.3

= (...6).2 + (...1).3

= (...2) + (...3)

= ...5

Vì \(\overline{...5}⋮5\) nên \(2^{4n+1}+3^{4m+1}⋮5\)

Vậy \(2^{4n+1}+3^{4m+1}⋮5\) 

a/ Gọi p là USCLN của 3n+13 và 3n+13 => 3n+13 và 3n+14 chia hết cho p

=> 3n+14-(3n+13)=1 cũng chia hết cho p => p=1 => 3n+13 và 3n+14 là số nguyên tố cùng nhau vì có USCLN=1

b/ Gọi p là USCLN của n+2 và 2n+3 => n+2 và 2n+3 chia hết cho p

n+2 chia hết cho p => 2n+4 cũng chia hết cho p => (2n+4)-(2n+3)=1 cũng chia hết cho p => p=1

=> n+2 và 2n+3 là số nguyên tố cùng nhau vì có USCLN=1

Các bài khác làm tương tự

\(\left(4m-1\right)\left(n-4\right)-\left(m-4\right)\left(4n-1\right)\)= 4mn-16m-n+4-4mn+m+16n=15n-15m=15(n-m)

Thấy 15 chia hết cho 5 => 15(m+n) chia hết cho 5 với mọi x

Nhầm xíu, Vậy A* chia hết cho 15 với mọi m,n thuộc Z

Lời giải:

Ta có:

\(3m^2+m=4n^2+n\)

\(\Leftrightarrow 4m^2+m=4n^2+n+m^2\)

\(\Leftrightarrow 4(m^2-n^2)+(m-n)=m^2\)

\(\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^2\)

Đặt $d$ là ước chung lớn nhất của $m-n$ và $4m+4n+1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 4m+4n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2=(m-n)(4m+4n+1)\vdots d^2\\ 4(m-n)+(4m+4n+1)\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d\\ 8m+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)

Vậy $m-n, 4m+4n+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là 1 số chính phương nên bản thân $m-n, 4m+4n+1$ cũng là các số chính phương (đpcm).

Lời giải:

Ta có:

\(3m^2+m=4n^2+n\)

\(\Leftrightarrow 4m^2+m=4n^2+n+m^2\)

\(\Leftrightarrow 4(m^2-n^2)+(m-n)=m^2\)

\(\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=m^2\)

Đặt $d$ là ước chung lớn nhất của $m-n$ và $4m+4n+1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m-n\vdots d\\ 4m+4n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m^2=(m-n)(4m+4n+1)\vdots d^2\\ 4(m-n)+(4m+4n+1)\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\vdots d\\ 8m+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)

Vậy $m-n, 4m+4n+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là 1 số chính phương nên bản thân $m-n, 4m+4n+1$ cũng là các số chính phương (đpcm).