Ta có: \(4x^2-28x+51=\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot7+49+2\)

                                       \(=\left(2x-7\right)^2+2\)(*)

Vì \(\left(2x-7\right)^2\ge0\) với mọi x

=> (*)\(\ge1\)

 =>(*) luôn luôn dương với mọi x

ta có : \(4x^2-28x+51=\left(2x\right)^2-2.2x.7+7^2+51=\left(2x-7\right)^2+51\)

vì \(\left(2x-7\right)^2\ge0\) với mọi x 

\(\Rightarrow\left(2x-7\right)^1+51>0\) với mọi x  (đpcm)

\(2x^2+2x+7=2x^2+2x+\frac{1}{2}+\frac{13}{2}\)

\(=2\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{13}{2}=2.\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{13}{2}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2.\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{13}{2}\ge\frac{13}{2}\forall x\)

\(\Rightarrow2x^2+2x+7\ge\frac{13}{2}\forall x\)

hay biểu thức \(2x^2+2x+7\)luôn dương với mọi x ( đpcm )

2x² + 2x + 7

= 2( x² + x + 1/4 ) + 13/2

= 2( x + 1/2 )² + 13/2 ≥ 13/2 > 0 ∀ x ( đpcm )

x⁴-2x+2

= (x²)²-2x²+1+2x²-2x+1

=(x²-1)²+2(x²-x+1)

=(x²-1)²+2(x²-2.1/2x+1/4+1/4)

=(x²-1)²+2[(x-1/2)²+1/4]

vì (x²-1)² lớn hơn hoặc = 0 với mọi x và 2[(x-1/2)²+1/4] lớn hơn hoặc = 0 với mọi x 

nên (x²-1)²+2[(x-1/2)²+1/4] dương hay x⁴-2x+2 dương

Ta có: (x+3)(x-11)+2003=x^2-11x+3x-33+2003

                                   =x^2-8x+1970

                                   =x^2-8x+4+1966

                                   =(x^2-8x+4)+1966

                                   =(x+2)^2  +1966

 Vì (x+2)^2 > 0 và 1966>0 => Bthức trên luôn luôn dương.

   OK

bài khó wa 

chịu thui 

cố lên

giúp mình đi mà

bài tập trong sách toán nâng cao và các chuyên đề ấy

Ta có ( x+3 )(x-11 ) +2003= x^2 - 11x + 3x - 33 + 2003

                                      = x^2 - 8x + 1970

                                      = x2 - 8x + 16 + 1954 

                                      = ( x - 4 )^2 + 1954

   Mà ( x - 4 )^2 luôn lớn hơn hoặc bằng 0 => ( x - 4 )^2 + 1954 luôn dương

a)\(A=x^2+x+1=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\)

b) \(B=2x^2+2x+1=2\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}>0\)

-a + a - 3 = -3

=>  luôn âm

\(Q=x^2+y^2+xy+x+y+10\)

\(=\left(x^2+xy+x\right)+y^2+y+10\)

\(=x^2+x\left(y+1\right)+y^2+y+10\)

\(=x^2+2.x.\frac{y+1}{2}+\left(\frac{y+1}{2}\right)^2+y^2+y-\left(\frac{y+1}{2}\right)^2+10\)

\(=\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2+y^2+y-\frac{\left(y+1\right)^2}{4}+10\)

\(=\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2+y^2+y-\frac{y^2+2y+1}{4}+10\)

\(=\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2+y^2+y-\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{2}y-\frac{1}{4}+10\)

\(=\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2+\frac{1}{2}y+\frac{39}{4}\)

\(=\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y^2+\frac{2}{3}y+13\right)=\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y^2+2.y.\frac{2}{6}+\frac{4}{36}-\frac{4}{36}+13\right)\)

\(=\left(x+\frac{y+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left[\left(y+\frac{2}{6}\right)^2+\frac{116}{9}\right]=\left(\frac{2x+y+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{2}{6}\right)^2+\frac{29}{3}\)

Vì \(\left(\frac{2x+y+1}{2}\right)^2\ge0;\frac{3}{4}\left(y+\frac{2}{6}\right)^2\ge0=>\left(\frac{2x+y+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y+\frac{2}{6}\right)^2+\frac{29}{3}\ge\frac{29}{3}>0\) (với mọi x;y)

Vậy biểu thức Q luôn dương với mọi giá trị của biến

=>4Q=4x²+4xy+4y²+4x+4y+40

=4x²+4x(y+1)+(y+1)²+4y²-y²+4y-2y+40-1

=(2x+y+1)²+3y²+2y+39

\(=\left(2x+y+1\right)^2+\left(\sqrt{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+\frac{116}{3}\)

\(\Rightarrow Q=\left(\frac{2x+y+1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}\right)^2+\frac{29}{3}>0\)

=>đpcm

A = x² - x + 1

A = x² - 2.x.\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{4}\) +\(\frac{3}{4}\)

A = \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

B = (x - 2)(x - 4) + 3

B = x² - 4x - 2x + 8 + 3

B = x² - 6x + 11

B = x² - 2.3.x + 9 + 3

B = \(\left(x-3\right)^2+3>0\)

C = 2x² - 4xy + 4y² + 2x + 5

C = (x² - 4xy + 4y²) + x² + 2x + 5

C = (x - 2y)² + (x² + 2x + 1) + 4

C = (x - 2y)² + (x + 1)² + 4

Xét biểu thức C thấy : 

Có 2 hạng tử không âm (vì là bình phương)

Vậy C > 0